사하구 중3수학과외

사하구 중3수학과외에서 확인한 전개식의 한 줄

신평현대아파트와 사하코오롱하늘채아파트가 있는 생활권에서 중3수학 풀이를 살펴보다가, 다항식의 곱셈 중에서도 (x+a)(x+b) 전개에서 일차항 계수 확인에 집중한 사례를 만났습니다. 당리중학교, 사하중학교 등이 포함된 생활권에서 문제를 접할 때도 이 부분은 계산 속도보다 항을 빠짐없이 확인하는 과정이 중요합니다. 이번 사하구과외 수업에서는 풀이 유형명을 먼저 알려 주지 않고 식만 제시했습니다.

적힌 답보다 먼저 살핀 풀이 기록

주말 복습에서 학생은 다음 식을 풀었습니다.

(x+4)(x-7)을 전개하여 x²의 계수와 x의 계수, 상수항을 구하여라.

학생의 종이에는 다음처럼 적혀 있었습니다.

(x+4)(x-7)=x²-7x+4-7=x²-7x-3

마지막 계산인 4-7=-3 자체는 맞았지만, 그 전에 이미 전개가 잘못되었습니다. 학생은 첫 번째 괄호의 x와 4를 두 번째 괄호의 항에 각각 곱해야 한다는 점을 끝까지 기록하지 않았습니다. 특히 4와 x를 곱한 4x를 빠뜨렸고, 4와 -7을 곱한 항을 -7로 적었습니다.

처음 어긋난 판단은 답을 빨리 완성하려고 예제에서 보았던 항의 순서만 따라가며 곱해져야 하는 항·계수·부호를 하나씩 확인하지 않은 것이었습니다. 따라서 마지막 -3만 고치는 것으로는 부족했습니다. 일차항 계수는 -7이 아니라 -7+4인 -3이 되어야 하고, 상수항은 4와 -7의 곱인 -28이어야 합니다.

한 줄짜리 기준으로 다시 전개하기

교정은 한 가지 행동으로 정리했습니다. 괄호를 바로 묶어 계산하지 않고, 각 항의 곱을 네 줄로 모두 적은 뒤 동류항을 정리하는 것입니다.

(x+4)(x-7)
= x·x + x·(-7) + 4·x + 4·(-7)
= x² - 7x + 4x - 28
= x² - 3x - 28

이제 일차항은 -7x와 4x에서 만들어지므로 계수는 -3입니다. 학생은 이미 알고 있던 부호 계산과 정리 과정은 그대로 두고, 빠뜨린 항을 먼저 적는 행동만 바꾸었습니다. “전개할 때 네 곱을 모두 썼는가?”라는 기준 하나가 풀이 중간의 확인점이 되었습니다.

모양을 바꾼 식에서도 같은 기준을 쓰다

며칠 뒤에는 단순히 숫자만 바꾼 식이 아니라, 계수가 붙고 부호의 위치가 달라진 문제를 제시했습니다.

(2x-3)(x+5)를 전개한 식에서 x의 계수를 구하고, 전개식에 x=1을 대입하여 원래 식과 비교하여라.

학생은 먼저 네 항을 적었습니다.

2x·x + 2x·5 + (-3)·x + (-3)·5
= 2x² + 10x - 3x - 15
= 2x² + 7x - 15

이번에는 x의 계수를 10과 -3에서 나온 7로 확인했습니다. 이어 전개식에 1을 대입하면 2+7-15=-6이고, 원래 식에 대입해도 (2-3)(1+5)=(-1)·6=-6입니다. 식의 모양과 질문 방향이 달라졌지만, 항별 곱을 빠짐없이 적는 기준은 그대로 적용되었습니다.

힌트 없이 남겨 둔 마지막 확인

한 주 뒤 사하구중3수학과외 복습에서는 문제를 미리 분류하지 않았습니다.

(3x+2)(2-x)를 전개하고 x의 계수와 상수항을 구한 뒤, x=-1을 대입해 전개 결과를 확인하여라.

학생은 별도 안내 없이

3x·2 + 3x·(-x) + 2·2 + 2·(-x)
= 6x - 3x² + 4 - 2x
= -3x² + 4x + 4

라고 적었습니다. 따라서 x의 계수는 4, 상수항은 4입니다. 마지막으로 원래 식에 -1을 넣으면 (-3+2)(2+1)=-3, 전개식에 넣어도 -3-4+4=-3입니다.

학생은 “네 곱을 모두 적었기 때문에 6x, -3x², 4, -2x가 빠지지 않았고, 두 식에 같은 값을 넣어 결과가 같으므로 전개가 맞다”고 설명했습니다. 힌트 없이도 일차항 계수를 정할 때 항별 곱과 대입 검산을 스스로 선택한 장면이었습니다.