사하구 고등수학과외
사하구 고등수학과외에서는 점근선 문제를 풀 때 식의 모양과 그래프의 위치를 함께 확인한다. 부산일과학고등학교나 부산여자고등학교를 준비하는 학생도 계산 절차만 외우기보다, 주어진 함수가 실제로 어떤 그래프를 만드는지 설명하는 연습이 필요하다. 신평현대아파트와 사하코오롱하늘채아파트 주변에서 수업한 한 학생은 유리함수의 점근선을 묻는 문제처럼 보이는 식을 보고 다음과 같이 풀이를 시작했다.
점근선을 찾기 전에 식의 종류부터 확인하기
학생이 적은 식은 f(x)=x²-4x+8이었다. 처음에는 유리함수라고 생각해 분모가 0이 되는 값을 찾으려 했고, 중간 풀이에는 “그래프는 점근선의 어느 한쪽에 있다”라고만 기록했다. 여기서 첫 오류가 발생했다. 이 식에는 분모가 없으므로 정의역에서 제외되는 x값이 없다. 따라서 유리함수의 수직점근선을 찾는 절차를 그대로 적용할 수 없다.
식을 인수분해하려던 학생은 x²-4x+8을 (x-2)(x-4)로 잘못 바꾸기도 했다. 전개하면 x²-6x+8이 되므로 원식과 다르다. 이 순간 그래프 위치 판단까지 틀어질 수 있어, 계산 결과를 바로 그림으로 옮기지 않고 원식과 다시 대조했다.
완전제곱으로 그래프 위치를 읽는 장면
교사는 먼저 점근선 표기를 지우고 식을 완전제곱으로 바꾸게 했다.
x²-4x+8=(x-2)²+4
제곱항은 음수가 될 수 없으므로 f(x)는 항상 4 이상이다. 따라서 그래프는 직선 y=4 아래로 내려가지 않으며, x=2에서 최솟값 4를 갖는다. 이것은 점근선의 한쪽에 그래프가 놓인다는 설명과 다르다. 포물선의 대칭축은 x=2이고, 정의역은 모든 실수, 치역은 y≥4라고 한 줄로 정리해야 한다.
학생은 처음에 “점근선 y=4”라고 썼지만, y=4에서는 함수값이 실제로 f(2)=4가 된다. 그래프가 그 직선에 가까이만 가고 만나지 않는 것이 아니라, 꼭짓점에서 직접 만난다. 이 대입 확인으로 y=4를 점근선이라고 부를 수 없다는 점을 교정했다.
조건을 바꾼 뒤 혼자 다시 판단하기
다음에는 식을 g(x)=(x²-4x+8)/(x-2)로 바꾸어 주었다. 학생은 먼저 x=2에서 분모가 0이므로 정의역에서 제외된다고 적었다. 분자는 (x-2)²+4이므로 x=2에서 4이고, 약분되지 않는다. 따라서 x=2는 수직점근선이 된다. 다만 분자를 나누어
g(x)=x-2+4/(x-2)
로 바꾸면 기울어진 점근선 y=x-2도 읽을 수 있다. 앞의 포물선과 달리 이번에는 제외되는 x값과 무한히 커지는 함수값이 생긴다는 점을 학생이 독립적으로 설명했다.
마지막에는 원식에 다시 대입한다
검산은 그래프를 대충 그리는 것으로 끝내지 않았다. 원래 식 f(x)에 x=2를 넣어 f(2)=4를 확인하고, x=0과 x=4를 각각 대입해 f(0)=8, f(4)=8을 계산했다. 두 점이 x=2를 기준으로 대칭이며 모두 y=4보다 위에 있다는 사실이 완전제곱 결과와 맞았다. 이어서 g(x)에 x=1과 x=3을 넣으면 각각 -5와 5가 되어 x=2의 양쪽에서 값의 방향이 달라진다. 같은 ‘그래프 위치 읽기’라도 식의 형태에 따라 검증 방법이 달라진다는 점까지 확인한 것이다.
자주 묻는 질문
- 모든 함수에 점근선이 있나요?
아니다. 다항함수인 f(x)=x²-4x+8에는 유리함수식 점근선이 없다. - y=4는 왜 점근선이 아닌가요?
그래프가 y=4에 가까워지는 것이 아니라 x=2에서 실제로 그 값을 갖기 때문이다. - 분모가 0이면 항상 수직점근선인가요?
약분으로 사라지는 인자인지 확인해야 한다. 약분되지 않고 함수값이 무한히 커지는 경우에 수직점근선이 된다. - 그래프 위치는 계산 없이 알 수 있나요?
완전제곱식으로 바꾸면 최솟값과 대칭축을 빠르게 판단할 수 있지만, 원식 대입으로 반드시 확인하는 편이 안전하다. - 점근선 문제에서 먼저 적을 내용은 무엇인가요?
함수의 종류, 정의역, 분모의 존재 여부를 먼저 확인한 뒤 그래프의 위치를 판단한다.