사하구 고3수학과외
30초 안에 코사인법칙의 길을 정하는 판단
신평현대아파트와 사하코오롱하늘채아파트가 있는 생활권에서 진행한 기출 재풀이에서 학생은 해설을 가린 채 삼각형 문제를 펼쳤다. 문제는 두 변의 길이와 끼인각을 이용해 나머지 변의 변화를 함수로 나타내고, 특정 조건에서 가능한 삼각형의 개수를 묻는 유형이었다. 첫 30초 동안 학생은 그림에 주어진 값들을 모두 계산하려 했고, 식을 세운 뒤에도 숫자 대입을 계속 이어 갔다. 계산 자체는 가능했지만 한 문항에 머무는 시간이 빠르게 늘어나는 상황이었다.
그때 풀이를 멈추고 먼저 판단해야 할 것은 계산의 양이 아니라 코사인법칙이 만드는 함수의 범위였다. 두 변을 각각 3, 4, 끼인각을 θ라 하면 나머지 변의 제곱은
f(θ)=3²+4²-2·3·4cosθ=25-24cosθ
이다. 삼각형의 각이 0°와 180° 사이에 있으므로 cosθ의 범위는 -1보다 크고 1보다 작다. 따라서 f(θ)는 1보다 크고 49보다 작다. 학생은 이 범위를 바로 확인하지 않고 특정 각을 임의로 대입해 값을 비교하려 했던 것이 최초의 지연이었다. 더구나 각의 범위와 함수의 관계를 분리하지 않아, 끝점에서 얻는 값 1과 49를 실제 삼각형에서 가능한 값처럼 기록하려 했다.
계산보다 먼저 남긴 두 줄
학생에게 긴 해설 대신 풀이를 세 줄로 줄이게 했다. 첫째 줄에는 코사인법칙을 적고, 둘째 줄에는 각의 범위와 함수값의 범위를 적으며, 셋째 줄에 문제에서 요구한 조건을 대입하도록 했다. 이 문제에서 예상 결과의 부호는 c²>0으로 표시했다. 이후 식을 계산할 때마다 “각은 내부값인가, 끝점인가”를 확인하게 했다.
예를 들어 c²=25-24cosθ에서 θ=60°이면 c²=13이다. 반면 θ가 0°에 가까워지면 c²은 1에 가까워지고, 180°에 가까워지면 49에 가까워진다. 그러나 θ=0°나 180°에서는 세 점이 일직선이 되어 일반적인 삼각형이 되지 않는다. 학생은 끝점의 값을 함수의 극한처럼 참고할 수는 있지만, 가능한 삼각형의 실제 값으로 포함해서는 안 된다는 점을 식 옆에 따로 적었다.
각의 범위를 먼저 쓰고, 코사인법칙으로 만든 함수의 증감과 경계를 확인한 뒤 계산을 이어 간다.
중단 기준도 하나만 정했다. 30초 안에 법칙과 범위를 세우지 못하면 해당 문항의 숫자 계산을 계속하지 않고 다음 문항으로 이동한다. 이는 문제를 포기하는 기준이 아니라, 확보 가능한 점수를 먼저 얻은 뒤 남은 시간에 재진입하기 위한 기준이었다. 사하구과외 수업에서 이 기준을 적용할 때도 풀이를 길게 설명하는 대신, 학생이 첫 식의 근거와 제외한 경계를 직접 말하게 했다.
그림을 덜 보여 준 변형에서
다음 문제는 두 변의 길이가 5와 7이고, 끼인각을 x라 하되 그림에서 각의 위치를 가렸다. 또한 g(x)=74-70cosx가 주어지고, g(x)가 25 이상 100 이하가 되는 x의 범위를 물었다. 숫자만 바꾼 문제가 아니라, 코사인법칙의 결과식을 직접 확인해야 하는 형태였다.
학생은 먼저 “두 변이 5와 7이므로 5²+7²-2·5·7cosx”라고 식의 근거를 설명했다. 이어 0<x<π를 적고, cosx가 1에서 -1 사이이므로 g(x)는 4보다 크고 144보다 작다고 정리했다. 그 뒤 조건 25≤g(x)≤100을 원래 식에 대입하여
25≤74-70cosx≤100
으로 바꾸었다. 첫 부등식에서는 cosx≤7/10, 둘째에서는 cosx≥-13/35를 얻었다. 따라서 각의 범위는 arccos(7/10)≤x≤arccos(-13/35)로 정리된다. 학생은 경계값을 무조건 포함하지 않고, 문제의 부등호가 포함인지 다시 확인했다.
순서를 바꿔도 남은 판단
마지막 세트에서는 이 문항을 앞쪽에서 중간으로 옮기고 풀이 시간도 짧게 제한했다. 그래프의 일부와 중간식을 가린 채, “나머지 변의 길이가 6보다 크고 10보다 작을 때 끼인각의 범위”를 묻도록 구성했다. 학생은 먼저 36=a²+b²-2abcosθ 형태로 돌아가지 않고, 주어진 두 변의 값을 식에 정확히 넣어야 한다고 판단했다. 이어 가능한 경계를 계산한 뒤, 끝점이 퇴화 삼각형을 만드는지 확인하고 포함 여부를 결정했다.
검산 때는 답만 보지 않았다. 학생은 원래 코사인법칙에 얻은 경계각을 다시 대입하고, 변의 길이 범위가 문제의 조건으로 되돌아오는지 확인했다. 사용하지 않은 그림 정보에는 표시를 남겼고, 결론에서 필요한 초기조건인 “두 변과 끼인각이 주어졌다”는 사실도 역으로 찾아냈다. 다음 날 교정 표시를 지운 재풀이에서도 첫 식, 각의 범위, 끝점 제외 여부가 스스로 나왔다. 시간이 줄어든 상황에서도 계산을 붙잡기보다 함수의 경계와 재대입을 먼저 선택한 것이다.