온천동 중등수학과외

온천동중등수학과외, 산점도 마지막 점까지 확인해 상관관계 판단하기

산점도에서는 몇 개의 점이 오른쪽 위로 놓였다는 사실만으로 모든 자료가 증가한다고 말할 수 없습니다. 예를 들어 자료쌍 (1,7), (2,8), (3,9), (4,10)을 좌표평면에 표시하면, x가 1에서 4로 커질수록 y도 7, 8, 9, 10으로 함께 커집니다. 이 과제의 판단은 양의 상관관계입니다. 다만 두 값이 함께 변한다는 관찰만으로 x가 y의 원인이라고 결론낼 수는 없습니다. 온천동중등수학과외 수업에서는 이처럼 점의 배열에서 읽을 수 있는 관계와 자료만으로 알 수 없는 원인을 분리해 설명하도록 돕습니다.

모든 점을 읽어야 보이는 기본 산점도의 경향

기본 자료는 x의 변화량이 매번 +1일 때 y의 변화량도 매번 +1입니다. (1,7)에서 (2,8), 다시 (3,9), (4,10)으로 이동할 때 점들이 왼쪽 아래에서 오른쪽 위 방향으로 이어지므로 양의 상관관계라고 판단할 근거가 생깁니다. 여기서 “몇 점이 증가하니 모두 증가한다”는 말은 마지막 점을 확인하지 않은 판단일 수 있습니다. 종이에 네 점 모두 표시한 뒤 각 점의 x값과 y값을 차례로 비교하게 하면, 이 자료에서는 마지막 점까지 실제로 증가한다는 근거를 말할 수 있습니다. 경향선을 그릴 때도 선의 방향만 보고 원인·결과를 덧붙이지 않고, ‘두 변수가 함께 증가하는 모습’이라고 표현하는 것이 정확합니다.

마지막 점이 (4,6)일 때 바뀌는 판단

비교 과제에서는 앞의 세 점 (1,7), (2,8), (3,9)은 유지하고 마지막 점만 (4,6)으로 바꿉니다. x는 3에서 4로 1만큼 커졌지만 y는 9에서 6으로 3만큼 작아집니다. 따라서 y값의 흐름은 7→8→9→6이 되어 끝까지 계속 증가하지 않으며, 단조 증가는 깨집니다. 앞의 세 점만 보고 완전한 증가 관계라고 단정할 수 없는 이유가 바로 마지막 점에 드러납니다. 산점도 옆에는 (4,6)에 동그라미를 치고 ‘x는 증가, y는 감소’라고 적어 두면 수정해야 할 판단이 분명해집니다. 이 점이 예외처럼 보인다고 해서 지우거나 무시하지 않고, 전체 자료에 포함하여 설명해야 합니다.

며칠 뒤에는 식 대신 표시와 근거로 다시 확인하기

처음 풀이에서 어긋난 문장은 남겨 두고, 왜 고쳤는지 ‘마지막 점의 y값이 6으로 내려간다’고 연결해 기록합니다. 당일에는 기본 자료의 네 점을 모두 읽었는지, 비교 자료에서는 7→8→9→6을 확인했는지를 살핍니다. 며칠 뒤 기록 없이 다시 산점도를 제시했을 때에는 “마지막 점까지 포함하면 계속 증가하나요?”와 “함께 변하는 자료만으로 원인을 확정할 수 있나요?”에 각각 점의 위치를 근거로 답하는지 확인합니다. 첫 질문에는 비교 자료에서 아니라고 설명하고, 둘째 질문에는 관찰된 상관관계만으로 인과관계를 확정할 수 없다고 구분하면 됩니다. 답만 맞혔는지보다 네 점을 표시하고 마지막 점을 근거로 판단을 바꾸는지까지 확인해 다음 복습 범위를 정합니다.

단조 증가는 x가 커질 때 y가 한 번도 작아지지 않는지 보는 기준이고, 양의 상관관계는 점들의 전체적인 경향을 보는 기준입니다. 일부 구간에서 y가 감소했다는 사실만으로 양의 상관관계가 없다고 결론 내리지는 않습니다.