LearnMap

천안문학동 중2수학과외

과외 학습 안내 이미지 1과외 학습 안내 이미지 2과외 학습 안내 이미지 3과외 학습 안내 이미지 4과외 학습 안내 이미지 5과외 학습 안내 이미지 6과외 학습 안내 이미지 7

그림보다 먼저 확인한 이등변삼각형의 밑각

천안문학동과외 수업에서 학생의 풀이를 거꾸로 읽어 보니, 마지막 계산보다 훨씬 앞선 한 줄에서 판단이 어긋나 있었습니다. 천안용곡중학교가 포함된 생활권과 극동늘푸른아파트가 있는 주변에서 자주 접하는 생활 장면처럼 지역을 배경으로 삼았지만, 수업의 중심은 그림 속 표시를 정확히 읽는 일이었습니다.

“두 각이 비슷하게 보이니까 같은 각이라고 적었어요.”

완성된 풀이를 뒤에서부터 되짚다

문제에는 삼각형 ABC가 있고, 변 AB와 AC에 같은 표시가 있었습니다. 꼭짓점 A의 각이 46°일 때 밑각 B와 C의 크기를 구하는 문제였습니다. 학생은 답안에 B=67°, C=67°이라고 적었지만, 풀이 중간에는 ‘∠A와 ∠B가 같다’고 써 두었습니다.

학생은 먼저 180°에서 46°를 빼고 2로 나누었습니다. 계산 자체는 맞았습니다. 그래서 풀이의 중간식을 가린 뒤 마지막 줄에서 거꾸로 올라갔습니다. 67°+67°+46°=180°은 성립했지만, 그 계산만으로 어떤 두 각을 같다고 정했는지는 설명되지 않았습니다. 이어서 같은 표시가 있는 부분을 확인하자, 학생이 변의 표시를 각의 표시처럼 읽은 것이 드러났습니다.

최초의 오류는 계산이 아니라 그림의 모양만 보고 같은 각을 선택한 판단이었습니다. 삼각형이 좌우로 반듯하게 그려져 있다는 이유로 ∠A와 ∠B를 같다고 본 것입니다.

처음 어긋난 한 줄만 바로잡기

전체 풀이를 지우지 않고, 학생이 적은 ‘∠A=∠B’를 가렸습니다. 그 아래 그림에서 같은 표시가 붙은 것은 AB와 AC라는 두 변임을 다시 확인하게 했습니다. 그런 다음 대응하는 맞은편 각을 연결했습니다. 변 AB의 맞은편 각은 ∠C이고, 변 AC의 맞은편 각은 ∠B이므로 같은 변에 대응하는 두 각은 ∠B와 ∠C였습니다.

학생은 같은 줄을 ‘AB=AC이므로 ∠B=∠C’로 고쳤습니다. 그 뒤 이미 맞았던 계산은 그대로 두고, ∠B+∠C=180°-46°=134°를 적은 다음 두 각이 같으므로 각각 67°라고 마무리했습니다. 마지막에는 46°+67°+67°를 더해 180°가 되는지 확인했습니다.

이 과정에서 각의 크기를 그림의 기울기나 위치로 정하지 않고, 같은 표시가 있는 변과 그에 대응하는 맞은편 각을 연결한다는 한 가지 판단만 반복했습니다. 천안문학동중2수학과외 수업에서도 이 연결이 풀이의 출발점이 되도록 중간식을 가린 채 확인했습니다.

표시를 숨긴 다른 형태의 문제

다음 문제는 그림에 같은 변 표시를 바로 보여 주지 않았습니다. 삼각형 PQR에서 ∠Q와 ∠R의 크기가 같고, 변 PQ의 길이가 8cm일 때 변 PR과 밑각의 관계를 설명하게 했습니다. 이번에는 숫자를 구하는 문제가 아니라 문장으로 주어진 각의 관계에서 같은 변을 찾아야 했습니다.

학생은 먼저 ∠Q와 ∠R을 같은 표시로 바꾸어 적었습니다. 이어서 ∠Q의 맞은편 변은 PR, ∠R의 맞은편 변은 PQ라고 짝을 지었습니다. 따라서 PR=PQ라고 설명했습니다. 변의 길이를 구하라는 질문이 없으므로 8cm를 임의로 다른 곳에 대입하지 않고, PR도 8cm라고 적었습니다.

또 다른 짧은 문제에서는 삼각형 XYZ의 변 XY와 YZ가 같고, ∠X가 58°일 때 ∠Z를 묻도록 했습니다. 학생은 꼭짓점 Y가 가운데 있다는 위치에 끌려가지 않고, XY에 대응하는 각은 ∠Z, YZ에 대응하는 각은 ∠X라고 표시했습니다. 그래서 ∠Z=58°라고 바로 판단했습니다. 질문의 방향이 ‘밑각을 구하라’에서 ‘같은 각을 찾아 이유를 쓰라’로 바뀌었지만, 대응변과 대응각을 연결하는 과정은 유지되었습니다.

힌트 없이 다시 확인한 판단

수업 후반에는 중간 풀이를 가린 새 문제를 제시했습니다. 삼각형 DEF에서 DE와 DF에 같은 표시가 있고, ∠E가 71°일 때 ∠F와 ∠D의 크기를 구하는 문제였습니다. 학생은 그림을 보자마자 “먼저 DE와 DF가 같으므로, 그 맞은편인 ∠F와 ∠E가 같다”고 말했습니다. 그림의 좌우 모양은 근거로 삼지 않았습니다.

학생은 ∠F=71°을 적은 뒤 ∠D=180°-71°-71°=38°로 계산했습니다. 그리고 “같은 표시가 있는 두 변을 먼저 찾고, 각각의 맞은편 각을 연결했기 때문에 ∠E와 ∠F가 같다”고 풀이 이유를 설명했습니다. 마지막 검산에서도 세 각의 합을 180°로 확인하며, 이번에는 계산 결과가 아니라 첫 판단부터 근거가 이어졌는지 스스로 점검했습니다.

천안문학동 중2수학과외 학부모 후기

노트를 새것으로 바꾼 날이라 책상 주변을 정리하다가 아이가 적어 둔 메모를 보게 됐어요. 문제에 길게 붙어 있던 조건을 그대로 옮긴 게 아니라, 필요한 내용만 짧은 말로 바꿔 식 옆에 붙여 놓았더라고요. 천안문학동 수학과외를 알아보던 중에도 이런 작은 변화가 집에서 보일까 싶었는데, 실제로 눈앞에서 보니 전과는 달랐어요. 예전에는 다음에 확인할 부분을 따로 남겨 두지 않아서 문제를 다시 펼치면 처음부터 전부 훑곤 했거든요. 그런데 학교 숙제를 마친 뒤에는 긴 조건에서 필요한 것만 골라 식 옆에 적고, 아직 확인하지 못한 부분에는 따로 표시를 해 두었어요. 문제를 읽은 흔적이 한눈에 보였고, 어디를 다시 봐야 하는지도 노트 안에서 바로 찾을 수 있었습니다.

★★★★★학부모 후기

오답이 많이 나온 단원을 다시 펼쳐 보던 날, 아이 책상 위에 서술형 풀이 흔적이 남아 있더라고요. 답안 전체를 새로 쓴 게 아니라, 지우개로 적어 둔 문장을 지운 뒤 중간식부터 다시 이어서 적어 놓았더라고요. 어디서부터 손을 댔는지 보여서 잠시 살펴봤습니다. 예전에는 막힌 부분이 있어도 따로 표시하지 않고 다음 공부로 넘어갔거든요. 그런데 이번에는 서술형 답을 통째로 고치기보다 잘못된 중간식을 먼저 찾아 다시 써 두었어요. 천안문학동 수학과외라는 말을 접하고 있던 때라 책상 주변을 자주 보게 됐는데, 이런 작은 차이가 눈에 들어왔습니다. 수업 전 질문 표시를 확인할 때도 같은 흔적이 보였어요. 표시해 둔 부분에서 답안 전체보다 틀린 중간식부터 다시 적어 놓았고, 점검한 자리에는 그 과정을 그대로 남겨 두었더라고요.

★★★★★학부모 후기

숙제를 끝내고도 틀린 문제를 다시 풀어 보려는 아이를 보며 천안문학동 수학과외를 시작하길 잘했다는 생각이 들었습니다. 어려운 문제에 오래 붙잡혀 일정이 밀릴 때도 선생님은 답을 재촉하지 않고 충분히 생각한 뒤 설명을 듣고 다시 시도하게 했습니다. 수업을 마친 뒤에는 계획을 현실에 맞게 조절했고, 아이도 수학 수업을 예전처럼 부담스러워하지 않았습니다.

★★★★☆학부모 후기

천안문학동에서 수학 과외를 시작할 때만 해도 아이는 공부한 내용을 금방 잊는다며 모르는 문제도 그냥 넘기곤 했습니다. 선생님은 숙제가 많아지면 양을 조절하고, 진도가 빠른 날에는 복습과 오답 확인을 하며 질문을 편하게 받아 주셨습니다. 새 학기와 시험기간에도 일정에 맞춰 계획을 다시 세우는 모습이 보여 성적보다 먼저 공부 습관의 변화를 느꼈습니다.

★★★★★학부모 후기

학원과 학교 일정이 겹쳐 바빴던 천안문학동의 어느 주간에도 선생님은 수업 중 보인 태도와 어려움을 결과와 함께 세심하게 알려주셨습니다. 평소 문제 수만 많아도 부담스러워하던 아이가 어느 날 늦게 귀가해서는 틀린 문제를 다시 풀고, 모르는 부분은 숨기지 않고 표시해 두었습니다. 이제는 수업 전에 질문할 문제를 스스로 골라 두는 모습이 가장 반갑습니다.

★★★★★학부모 후기