천안문학동 고3수학과외

합성함수 풀이에서 답보다 먼저 찾은 한 줄

천안문학동 생활권에서 수능 함수 합성 문제를 풀던 학생이 오답노트에 적은 답은 계산 과정만 보면 그럴듯했다. 그런데 제한시간을 절반으로 줄인 재풀이에서 학생은 식을 전개하기보다 그래프 관계를 먼저 읽었다. 정답에서 거꾸로 확인해 보니 마지막 제곱 계산이 아니라, 합성함수의 입력이 가질 수 있는 조건을 처음부터 잘못 잡은 것이 출발점이었다.

문제는 다음과 같았다. f(t)=√(t-1), g(x)=x²-3일 때 f(g(x))=2를 만족하는 실수 x를 구하는 것이다. 학생은 그래프를 머릿속으로 떠올린 뒤 “제곱함수의 두 교점이 답이므로 ±2”라고 적었다. 이후 식을 계산하면서 x²-4=4를 만들고 x²=8까지 도달했지만, 앞에서 예상한 그래프의 교점과 맞지 않자 한쪽 값을 버리려 했다.

계산이 아니라 입력 조건에서 갈라진 순간

풀이를 정답에서 역추적하면서 학생은 첫 판단이 달라진 줄에 표시했다. √(g(x)-1)을 쓸 때 g(x)-1≥0을 적지 않은 줄이었다. 실제로는

f(g(x))=√{(x²-3)-1}=√(x²-4)

이므로 먼저 x²-4≥0, 즉 x≤-2 또는 x≥2를 확인해야 한다. 그다음 √(x²-4)=2에서 x²-4=4를 얻어 x²=8, 따라서 x=±2√2이다. 두 값 모두 |x|≥2를 만족하므로 둘 다 해가 된다. 학생이 처음 버린 음의 해는 계산 오류가 아니라, 그래프를 대략 읽은 뒤 해의 조건을 생략한 결과였다.

합성함수에서는 바깥 함수의 정의 조건을 안쪽 식에 대입한 뒤, 그 조건을 해의 후보와 다시 대조한다.

한 줄만 고쳐 전체 풀이를 되살리기

교정은 풀이 전체를 다시 쓰는 방식이 아니었다. 학생은 합성식을 적는 즉시 식 오른쪽에 “안쪽 입력 g(x)-1≥0”을 붙이고, 마지막에 후보를 이 조건에 대입하기로 했다. 그래프는 답의 개수를 예상하는 보조 자료로만 두고, 해를 결정하는 근거는 식과 조건으로 분리했다.

다음 날 표시가 모두 지워진 문제를 다시 풀게 했다. 이번에는 표의 순서를 바꾸어 f의 식을 먼저 주지 않고, g의 값과 f(g(x))의 관계를 표로 제시했다. 또한 x가 정수라는 조건을 추가해 해의 조건이 직접 드러나지 않게 했다. 학생은 표에서 g(x)=5가 되어야 함을 찾은 뒤 x²-3=5를 세웠고, x=±√8은 정수가 아니므로 정수해가 없다고 결론 내렸다. 여기서도 먼저 g(x)가 f의 정의역에 들어가는지 확인한 뒤 후보를 제거했다.

표현이 바뀌어도 남은 판단

오답 풀이가 포함된 변형에서는 “g(x)=5이면 곧바로 x=√8만 선택한다”는 줄을 제시했다. 학생에게 정답을 고르게 하지 않고 가장 먼저 고칠 단계를 표시하게 하자, 음의 후보를 빠뜨린 줄보다 앞선 정수 조건과 해의 조건을 연결하지 않은 줄에 선을 그었다. 이어 원래 조건에 후보를 다시 넣어야 한다고 설명했다.

또 다른 변형은 f의 정의역을 그래프로 보여 주고, g(x)의 값이 그 구간에 들어갈 때만 합성이 가능하도록 구성했다. 학생은 그래프의 끝점도 제외하지 않고 별도 칸에 적었다. 예를 들어 정의역이 t≥1이면 g(x)=x²-3에 대해 x²-3≥1을 세워 |x|≥2를 얻고, 등호가 포함된다는 점까지 확인했다. 그래프의 모양과 식의 부등호 방향을 서로 대조한 것이다.

천안문학동과외에서 진행한 마지막 확인은 전날 문제를 다시 보여 주지 않는 방식이었다. 수치와 표의 제시 순서를 바꾸고, 질문도 “합성값을 구하라”에서 “가능한 x의 범위를 먼저 정하라”로 바꾸었다. 학생은 첫 계산 전에 바깥 함수의 정의역을 찾고, 그 조건을 안쪽 식에 옮겼다. 이후 얻은 후보를 원래 합성식에 재대입했으며, 같은 값을 만드는 두 표현이 있어도 해의 조건을 충족하지 않는 값은 제외했다.

힌트 없이도 학생의 첫 기록에는 “그래프는 관계 확인, 조건은 해 판정”이라는 구분이 남아 있었다. 함수 합성에서 오류 위치를 찾을 때 뒤의 산술을 고치는 대신, 처음으로 정의역과 후보의 연결을 놓친 줄을 찾는 판단이 유지된 것이다.