천안문학동 중1수학과외

주어진 조건을 다시 연결하며 삼각형 작도를 바로잡은 과정

문제에는 한 변의 길이, 그 양 끝 각의 크기가 주어져 있었고, 이 조건으로 삼각형을 하나 작도한 뒤 나머지 변의 길이를 비교하라는 내용이 담겨 있었다.

오답에서 첫 판단을 되짚다

학생은 자를 이용해 기준이 될 선분을 그은 뒤, 양 끝에서 각을 표시했다. 그런데 두 각의 위치를 표시하기 전에 문제에 적힌 숫자를 먼저 그림 옆에 옮겨 적었다. 한쪽 각은 기준 선분의 왼쪽 끝, 다른 각은 오른쪽 끝에 놓여야 하는데, 학생은 두 각을 모두 같은 방향에서 재어 선분 위에 표시했다. 그 결과 두 작도선이 엉뚱한 위치에서 만나 삼각형이 지나치게 좁아졌다.

학생은 작도 결과가 이상해진 뒤에야 “각의 크기를 잘못 계산했나?”라고 생각하며 각도기를 다시 확인했다. 그러나 각도기의 눈금은 맞았고, 오류는 계산 뒤가 아니라 각을 어느 끝점에 대응시킬지 정하지 않은 순간부터 시작되었다. 이미 그린 선을 계속 수정하는 대신, 학생이 적은 표시를 지우고 문제의 조건을 한 줄씩 다시 읽었다.

“기준 선분의 왼쪽 끝에 주어진 첫 번째 각, 오른쪽 끝에 주어진 두 번째 각을 각각 그린다. 각의 꼭짓점은 선분의 양 끝점이다.”

교정은 한 가지로 제한했다. 학생은 기준 선분의 양 끝을 P, Q로 쓰고, 문제에 나온 두 각을 각각 ∠P와 ∠Q로 옮겨 적었다. 그다음 P에서 출발하는 반직선과 Q에서 출발하는 반직선을 서로 다른 색으로 그렸다. 두 반직선이 만나는 점을 R로 정한 뒤, 선분 PR과 QR을 연결했다. 이번에는 각의 꼭짓점과 기준 선분의 끝점이 일치했고, 주어진 조건이 그림에 그대로 반영되었다.

그림의 방향을 바꾸어 같은 조건을 적용하다

다음 문제는 같은 삼각형을 종이에 돌려 놓은 그림이었다. 기준 선분이 아래쪽이 아니라 세로로 놓였고, 질문도 “새로 생긴 꼭짓점에서 기준 선분의 양 끝을 보았을 때의 각을 표시하라”는 식으로 바뀌어 있었다. 숫자만 바꾼 문제가 아니었기 때문에 학생은 그림의 방향부터 판단하지 않고, 점의 역할을 먼저 적었다.

• 주어진 길이를 가진 선분의 양 끝을 P와 Q로 정한다.
• 문장에서 기준 선분을 바라보는 두 각의 꼭짓점을 확인한다.
• 왼쪽과 오른쪽이라는 위치 표현 대신 P에 붙은 각, Q에 붙은 각으로 조건을 바꿔 적는다.
• 각의 두 변 중 하나가 반드시 선분 PQ와 겹치는지 확인한 뒤 반직선을 그린다.

도형을 시계 방향으로 돌려 보았지만, P와 Q의 역할은 달라지지 않았다. 학생은 회전된 그림에서 위쪽에 보이는 점을 무조건 첫 번째 점으로 읽지 않고, 문제에서 정한 대응 관계를 기준으로 작도했다. 질문의 방향도 바꾸어 “이 삼각형이 조건에 맞는지 확인하라”는 말 대신 “작도한 삼각형에서 주어진 선분과 두 각이 어디에 있는가?”라고 스스로 물었다. P와 Q를 연결한 선분, P에서 그은 각, Q에서 그은 각을 차례로 짚으며 원래 조건과 대조했다.

힌트 없이 작도 이유와 조건을 설명하다

수업 후반에는 풀이 과정을 가린 새 그림을 제시했다. 학생은 도움 없이 먼저 문제에서 주어진 것이 한 변과 그 양 끝의 두 각이라는 점을 표시했다. 기준 선분을 AB로 정하고, A에서는 첫 번째 각을, B에서는 두 번째 각을 그린 뒤 두 반직선의 교점을 C로 두었다. “A와 B를 먼저 정한 이유는 주어진 길이가 AB이기 때문이고, 각의 꼭짓점을 A와 B에 놓아야 원래 조건과 대응한다”고 설명했다.

검산할 때는 완성된 모양이 예쁜지 살피지 않았다. 손가락으로 AB의 길이 표시를 확인하고, A에서 그은 선과 AB가 이루는 각, B에서 그은 선과 BA가 이루는 각을 각각 다시 짚었다. 한 번 잘못 그렸던 방식처럼 두 각을 같은 방향에서 읽으면 조건이 달라진다는 점도 스스로 말한 뒤, 필요 없는 후보 그림은 제외했다. 마지막으로 “점의 이름이나 도형의 방향이 바뀌어도 주어진 변의 양 끝에 해당하는 각을 연결하면 된다”고 정리했다.

천안문학동중1수학과외에서 확인한 변화는 단순히 삼각형을 완성했다는 데 있지 않았다. 학생은 오류가 생긴 뒤 계산이나 모양을 탓하지 않고, 처음 조건을 어느 점과 어느 각에 연결했는지 거슬러 올라갔다. 이후 도형이 회전되고 질문 순서가 달라져도 대응하는 점과 변을 먼저 찾아 원래 조건에 다시 대조하는 방식으로 작도를 재현했다.