신방동 중2수학과외

그림의 모양보다 조건을 먼저 읽는 이등변삼각형 풀이

문제의 핵심은 이등변삼각형에서 밑각이 같다는 성질을 언제 적용할 수 있는지, 그리고 그림만 비슷할 뿐 조건이 다른 경우에는 무엇을 보류해야 하는지 구분하는 것이었다.

한 줄의 표시에서 시작된 오답

제시된 삼각형 ABC에서 그림상 꼭짓점 A가 위에 있고 밑변 BC가 수평으로 그려져 있었다. 문제에는 AB와 AC의 길이가 같다는 조건이 없고, ∠B와 ∠C가 같다는 말도 없었다. 대신 AB의 길이와 BC의 길이가 다르게 제시되어 있었다.

학생은 먼저 그림의 양쪽 모양이 비슷하다는 이유로 A에서 밑변 BC로 내린 선을 표시하고, “∠B=∠C”라고 적었다. 이어서 다른 각이 52도라는 정보를 이용해 두 밑각을 각각 52도로 계산했다. 계산 과정의 덧셈은 맞았지만, 그보다 앞서 같은 변이나 같은 각이라는 조건을 확인하지 않고 그림의 외형을 근거로 이등변삼각형이라고 정한 것이 최초의 잘못된 판단이었다.

학생은 “양쪽이 거의 대칭으로 보여서 밑각이 같다고 생각했어요”라고 설명했다.

교사는 이미 적어 둔 각의 합 계산과 주어진 수치의 기록은 지우지 않게 했다. 대신 문제 문장의 조건에서 같은 길이 또는 같은 각을 나타내는 부분에만 네모를 치도록 했다. 네모가 하나도 없다는 것을 확인한 뒤, 그림의 모양과 실제 조건을 분리해 읽었다.

정의와 성질의 경계를 다시 세우다

학생은 공책 왼쪽에 “이등변삼각형: 두 변의 길이가 같다”라고 적고, 오른쪽에는 “같은 변에 마주 보는 두 각이 밑각이며 서로 같다”라고 정리했다. 여기서 교정은 여러 풀이법을 추가하는 것이 아니라, 이등변삼각형이라는 이름을 붙이는 근거를 그림이 아닌 조건에서 찾는 것에 집중했다.

AB=AC라는 조건이 있을 때에만 AB와 AC에 같은 표시를 붙이고, 각각에 마주 보는 ∠C와 ∠B를 연결했다. 반대로 ∠B=∠C가 주어졌다면 그 각에 마주 보는 AC와 AB가 같다고 판단할 수 있지만, 단지 선이 비슷하게 기울어졌다는 이유만으로는 어느 쪽도 표시하지 않았다.

수정한 문제에서 AB=AC이고 ∠A=56도인 경우, 학생은 먼저 같은 변에 마주 보는 각이 ∠B와 ∠C임을 적었다. 삼각형의 세 각의 합에서 ∠B+∠C=124도이므로 각각 62도라고 계산했다. 답 옆에는 “AB=AC가 있으므로 밑각이 같다”라고 이유를 남겼다.

표와 문장으로 바꾼 독립 적용

다음 문제는 그림이 아니라 표로 제시되었다.

• 삼각형 PQR: PQ=PR, ∠Q=∠R
• 삼각형 XYZ: XY=YZ, ∠X와 ∠Z 중 한 각만 제시
• 삼각형 LMN: LM과 LN의 길이는 다르고, ∠M=∠N

질문은 “각각 밑각을 이루는 두 각 또는 두 변을 찾아 이등변삼각형 조건을 설명하라”였다. 학생은 PQR에서 같은 변 PQ와 PR에 밑줄을 긋고, 그에 마주 보는 ∠R와 ∠Q를 연결했다. XYZ에서는 같은 변 XY와 YZ에 마주 보는 ∠Z와 ∠X를 대응시켰다. 각의 값이 하나뿐이어도 대응 관계는 정할 수 있다고 설명했다.

LMN에서는 그림을 보지 않고 표의 조건을 먼저 읽었다. LM과 LN이 다르다는 정보와 ∠M=∠N가 함께 있으므로, 같은 각에 마주 보는 변 LN과 LM이 같아야 한다는 관계를 적었다. 다만 제시된 “길이가 다르다”는 조건과 충돌하므로, 이 세 조건을 동시에 만족하는 삼각형으로는 판단할 수 없다고 말했다. 숫자만 바꾼 문제가 아니라, 변 조건과 각 조건의 위치를 바꾸어 서로 대응하는지를 확인한 장면이었다.

힌트 없이 조건의 안과 밖을 가르다

수업 끝의 새 문제에는 삼각형 DEF가 주어지고, DE=DF라는 조건과 ∠E=47도가 제시되었다. 학생은 그림을 살피기 전에 “DE와 DF가 같으므로 그 맞은편 ∠F와 ∠E가 밑각”이라고 먼저 말했다. 따라서 ∠F=47도라고 적고, ∠D는 180-47-47로 계산해 86도를 얻었다.

이어 별도의 문항에서 “∠E=∠F처럼 보이지만 같은 변 조건이 없는 경우”를 묻자, 학생은 모양을 근거로 값을 정하지 않고 “같은 각이라는 문장이나 표시가 없으므로 밑각 성질을 바로 적용할 수 없다”고 답했다. 마지막으로 DE=DF를 원래 조건에 다시 대입해 자신이 연결한 밑각이 ∠E와 ∠F인지 확인하고, 47+47+86=180인지 검산했다.

새 그림에서도 먼저 조건을 표시하고, 대응하는 변과 각을 연결한 뒤, 조건이 없을 때는 성질 적용을 보류하는 판단을 스스로 재현했다.