신방동 중1수학과외

경계 조건을 놓친 삼각형 작도 풀이를 다시 세우다

신방동 생활권에는 천안신방중학교와 천안새샘중학교가 포함되어 있고, 청수지구와 신방지구처럼 여러 생활권이 이어져 있다. 이 지역의 신방동과외 수업에서 학생이 가져온 학교 프린트를 함께 살펴보던 중, 삼각형을 만들 수 있는지 판단하는 문제에서 풀이가 멈췄다. 단순히 길이를 비교하는 문제가 아니라, 세 변의 관계가 삼각형 작도 조건을 만족하는지 경계까지 확인해야 하는 문제였다.

작도되지 않는 이유를 거꾸로 추적한 기록

문제에는 세 변의 길이가 4cm, 6cm, 10cm로 제시되어 있었다. 학생은 자에 4cm와 6cm를 표시하고, 두 선분의 끝점을 중심으로 원호를 그린 뒤 “두 원호가 만나면 세 번째 꼭짓점을 정할 수 있다”고 적었다. 그러나 실제로는 두 원호가 만나는 점이 생기지 않았다. 학생은 원호를 조금 더 길게 그리면 된다고 생각하며 그림을 계속 수정했다.

풀이가 어긋난 최초의 판단은 원호의 교점이 반드시 생긴다고 본 순간이었다. 두 짧은 변의 길이를 더한 4+6이 가장 긴 변 10과 같을 때에는 두 선분이 일직선으로만 이어질 뿐, 넓이를 가진 삼각형이 만들어지지 않는다. 따라서 이 경우는 작도 가능한 삼각형이 아니라 경계에 걸린 불가능한 경우다.

가장 긴 변의 길이는 나머지 두 변의 합보다 작아야 한다.

이 한 가지 기준을 작도 과정에 연결해 다시 적었다. 가장 긴 변을 먼저 찾고, 나머지 두 변의 합과 비교했다. 10은 4+6보다 작지 않고 같으므로, 원호가 두 점에서 만나는 상황이 생기지 않는다. 이미 그린 자와 컴퍼스의 표시는 그대로 두되, 원호를 억지로 늘리는 행동만 지웠다. 그 결과 “세 변의 길이가 주어져도 조건을 만족해야 실제 삼각형을 작도할 수 있다”는 판단으로 정리되었다.

같은 조건을 다른 모양의 질문으로 바꾸기

다음에는 그림을 돌려 놓은 뒤, 한 변 7cm를 밑변으로 표시하고 양 끝에서 각각 4cm와 5cm인 원호를 그리게 했다. 이번에는 질문을 “삼각형을 작도할 수 있는가?”에서 “두 원호가 만나는 점이 생기는 이유를 세 변의 관계로 설명하라”로 바꾸었다. 학생은 먼저 4+5=9를 계산하고, 가장 긴 변 7보다 크므로 두 원호가 만날 수 있다고 설명했다.

이번에는 조건의 순서도 바꾸었다. 길이 5cm, 7cm, 4cm를 제시하고 7cm를 가장 긴 변으로 직접 찾아보게 했다. 학생은 숫자가 적힌 순서대로 비교하지 않고, 가장 긴 변을 골라 나머지 두 변의 합과 대조했다. 이어서 삼각형 그림을 180도 돌려 놓고도 같은 변을 대응시켰다. 모양과 방향이 달라져도 판단 기준은 변하지 않는다는 점을 풀이 문장으로 남겼다.

힌트 없이 다시 확인한 작도 조건

수업 후반에는 앞서 사용한 설명과 표시를 가리고 새 조건을 제시했다. 세 변이 3cm, 5cm, 7cm인 경우 학생은 가장 긴 변 7cm를 골라 3+5=8과 비교했다. 8이 7보다 크므로 삼각형 작도가 가능하다고 판단한 뒤, 7cm 선분을 먼저 긋고 양 끝에서 3cm와 5cm인 원호를 그렸다. 두 원호가 실제로 만나는지 확인한 다음 교점을 꼭짓점으로 연결했다.

학생은 마지막에 “가장 긴 변이 다른 두 변의 합보다 작아야 하고, 같으면 일직선이 되어 삼각형이 되지 않는다. 이번에는 3+5가 7보다 크므로 원호의 교점이 생긴다”고 스스로 설명했다. 단순히 답을 고른 것이 아니라, 처음에 놓친 경계 조건을 다시 적용하고 작도 결과와 조건을 서로 확인한 것이다.

천안신방중학교와 천안새샘중학교가 있는 생활권의 프린트를 활용한 이 과정은 신방동중1수학과외에서도 이어질 수 있다. 삼각형 작도 문제에서는 자와 컴퍼스를 움직이기 전에 가장 긴 변과 나머지 두 변의 합을 먼저 비교하고, 작도 뒤에는 원호의 교점이 조건에 맞는지 확인하는 순서가 핵심이다.