신방동 중3수학과외

신방동 중3수학과외, 원 안의 각을 읽는 순서

미지각과 연결된 호와 각의 꼭짓점을 먼저 확인하는 것이었습니다.

답이 틀어지기 전, 이미 그림에서 놓친 것

문제의 원 위에 점 A, B, C, D가 있고, ∠ACB=38°, ∠ADB를 구하라는 그림이었습니다. 두 각의 꼭짓점 C와 D는 원 위에 있으며, 양쪽 각의 양변은 각각 A와 B를 지나고 있었습니다. 따라서 두 각은 모두 현 AB가 잘라 내는 같은 호 AB를 보고 있습니다.

학생은 그림 옆에 다음처럼 적었습니다.

∠ACB=38°이므로 ∠ADB도 같은 원주각이다. 그런데 D가 반대쪽에 있으니 180°-38°=142°.

38°라는 값과 같은 호를 본다는 사실까지는 정확했습니다. 계산도 틀리지 않았습니다. 가장 먼저 어긋난 판단은 두 꼭짓점이 호 AB의 어느 쪽에 놓였는지 확인하지 않은 채, 그림의 위치만 보고 보각으로 바꾼 것이었습니다. 원주각은 꼭짓점과 두 점이 만드는 호의 위치를 함께 읽어야 합니다. 이 그림에서 C와 D는 같은 호 AB를 바라보는 같은 쪽에 놓여 있었으므로, 두 각은 같은 크기입니다.

한 표시만 바꾸어 다시 읽기

풀이를 처음부터 다시 쓰게 하지 않고, 틀린 판단과 직접 연결된 표시 하나만 고쳤습니다. 학생은 원둘레에서 A와 B를 찾아 호 AB를 굵게 표시한 뒤, ∠ACB와 ∠ADB의 두 변이 모두 A와 B로 연결되는지 확인했습니다.

• ∠ACB가 보는 호: AB
• ∠ADB가 보는 호: AB
• 두 꼭짓점 C, D의 위치: 같은 쪽

그러자 기존의 38° 계산은 그대로 유지할 수 있었습니다.

∠ADB=∠ACB=38°

이때 중요한 경계는 ‘원 위의 두 각이 같은가’가 아니라, 두 각이 실제로 같은 호 AB를 보는가입니다. 점의 이름이나 그림의 기울기는 기준이 아니며, 각의 양변이 연결하는 원 위의 두 점이 기준입니다.

그림을 돌리고 질문을 뒤집어도 같은 기준

다음 문제에서는 원이 옆으로 회전되어 있고, 원 위의 네 점 P, Q, R, S가 순서 없이 표시되어 있었습니다. ∠PSQ=47°이고, R과 S가 현 PQ의 같은 쪽에 놓여 있을 때 ∠PRQ를 구하는 문제였습니다. 이번에는 미지각이 왼쪽에 그려져 있지 않고, 질문도 “∠PRQ의 크기를 구하여라”로 제시되었습니다.

학생은 먼저 선분 RP와 RQ를 따라가며 이 각이 P와 Q를 잇는 현 PQ를 보는지 확인했습니다. 이어 ∠PSQ도 양변이 P와 Q를 향하므로 같은 호 PQ를 본다는 것을 표시했습니다. R과 S가 현 PQ의 같은 쪽이라는 조건을 확인한 뒤 다음과 같이 정리했습니다.

∠PSQ와 ∠PRQ는 모두 호 PQ를 보는 원주각이고, 두 꼭짓점이 같은 쪽에 있으므로 크기가 같다. 따라서 ∠PRQ=47°.

단순히 숫자 47°를 옮긴 것이 아니라, 미지각의 꼭짓점 R에서 출발해 양변의 끝점이 P와 Q인지 확인한 점이 달라졌습니다. 그림을 회전하거나 점 이름을 바꾸어도 연결되는 두 점과 꼭짓점의 위치가 판단 기준으로 남았습니다.

힌트 없이 다시 확인한 기록

며칠 뒤에는 별도의 표시나 질문 없이 다음 문제를 풀었습니다. 원 위에 점 E, F, G, H가 있고, ∠EHF=29°입니다. E와 F를 잇는 현의 같은 쪽에 G와 H가 놓여 있을 때 ∠EGF를 구하라는 문제였습니다.

학생은 곧바로 숫자를 옮기지 않고, 풀이 첫 줄에 “두 각의 양변 끝점은 모두 E, F”라고 적었습니다. 이어 “G와 H가 현 EF의 같은 쪽이므로 같은 호 EF를 본다”고 설명했습니다.

∠EGF=∠EHF=29°

마지막으로 ∠EGF의 두 변이 실제로 GE와 GF인지, 주어진 각이 HE와 HF인지 대조했습니다. 둘 다 같은 두 점 E, F를 연결하고 있으므로 결론이 조건과 일치한다고 검산했습니다.

신방동과외에서 이 유형을 다룰 때도 핵심은 그림을 외워 읽는 것이 아닙니다. 신방동중3수학과외에서는 먼저 각의 꼭짓점, 양변의 끝점, 두 꼭짓점이 보는 호의 위치를 차례로 확인하면, 회전된 그림과 예외처럼 보이는 배치에서도 같은 원의 성질을 스스로 적용할 수 있습니다.