반월동 중2수학과외
대입 뒤 식의 계산에서 갈린 한 줄
반월동과외 수업에서 학생은 문자에 식을 대입한 뒤 일차방정식을 정리하는 문제를 풀고 있었다. 반월동 생활권의 신영통현대타운1단지와 떡정거리 인근에서 자주 접하는 중학교 시험 문제처럼, 계산 자체보다 조건에 따라 식의 의미가 달라지는 유형이었다. 전주온빛중학교가 포함된 생활권에서 나온 학습 자료를 함께 보던 중, 학생은 다음 문제의 풀이를 공책에 적었다.
어떤 수에 3을 더한 뒤 2를 곱한 값이 14보다 작거나 같을 때, 그 수의 범위를 구하여라.
학생은 먼저 어떤 수를 x로 두고, “3을 더한 뒤 2를 곱한다”는 문장을 2(x+3)으로 옮겼다. 이어서 “14보다 작거나 같다”를 표시하며 2(x+3)≤14라고 적었다. 괄호 앞의 2를 각각의 항에 곱해 2x+6≤14로 바꾼 뒤 양변에서 6을 빼 x에 대한 범위를 구하려 했다.
계산보다 먼저 어긋난 판단
그런데 다른 문항에서 조건이 “어떤 수에서 3을 뺀 뒤 2를 곱한 값이 14보다 작다”로 바뀌자 학생은 첫 식을 그대로 참고해 2x+6<14라고 썼다. 결과만 틀린 것이 아니라, 문장이 달라졌는데도 괄호 안의 문자 부분을 이전 식과 같다고 판단한 것이 가장 먼저 어긋난 지점이었다. ‘더한 뒤’와 ‘뺀 뒤’를 구별하지 않고 숫자 3의 위치만 옮겨 적은 셈이었다.
학생은 풀이 옆에 문장에서 바뀐 낱말을 다시 표시했다. “x에서 3을 뺀다”는 x-3이고, 그 전체에 2를 곱하므로 식은 2(x-3)이라고 고쳤다. 이미 맞게 사용한 ‘전체를 괄호로 묶기’와 ‘양변에 같은 계산을 하기’는 그대로 두고, 괄호를 풀기 전 각 항의 부호를 먼저 적는 한 가지 교정만 적용했다.
2(x-3)≤14
→ 2x-6≤14
→ 2x≤20
→ x≤10
학생은 -6을 6으로 바꾸지 않도록 괄호 안의 뺄셈 기호에 짧은 표시를 붙였다. 이어 경계값 10을 원래 식에 넣어 2(10-3)=14가 되는지 확인하고, 10보다 작은 수를 하나 넣었을 때 결과가 14보다 작아지는지도 계산했다. 이 검산으로 부등호의 경계가 포함되는 이유까지 말로 설명했다.
표현을 바꾼 독립 적용
같은 개념을 식만 보고 반복하지 않도록 문제의 모양을 바꾸었다. 이번에는 다음 표를 제시했다.
| 입력한 수 x | 먼저 한 계산 | 나온 값 |
|---|---|---|
| x | x에서 4를 뺀 뒤 3을 곱함 | y |
조건은 y가 9보다 크거나 같은 경우였다. 학생은 표의 문장을 바로 3(x-4)≥9로 바꾸고, 괄호를 풀 때 3x-12≥9라고 적었다. 이번에는 질문의 방향도 달랐다. 값 y를 구하는 것이 아니라 가능한 x의 범위를 묻고 있었으므로, 3x≥21에서 x≥7이라고 정리했다. 이어 x=7을 대입해 y=9임을 확인하고, x=6에서는 y=6이 되어 조건을 만족하지 않는다고 비교했다.
또 다른 카드에는 “x보다 5 큰 수의 2배가 16보다 작다”는 문장이 적혀 있었다. 학생은 2(x+5)<16을 세운 뒤, ‘x보다 5 큰 수’이므로 x+5라고 말하며 앞의 문제와 부호가 달라진 이유를 설명했다. 숫자만 바꾼 것이 아니라 문장 표현과 질문 방향이 바뀌었지만, 대상을 먼저 괄호로 묶고 조건을 부등호로 옮기는 순서를 스스로 재현했다.
경계와 예외를 나누어 확인한 장면
수업 끝에는 도움 없이 새 문제를 풀었다.
어떤 수에 6을 더한 뒤 3을 곱한 값이 12보다 크지 않을 때, 그 수의 범위를 구하여라.
학생은 곧바로 “크지 않다”를 ≤로 읽고 3(x+6)≤12를 세웠다. 괄호를 복원한 상태에서 먼저 x+6≤4로 나누어 x≤-2를 얻었으며, 3으로 나눌 때 부등호 방향이 바뀌지 않는 이유를 양수이기 때문이라고 설명했다. 경계 -2를 넣으면 원래 값이 12가 되고, -1을 넣으면 15가 되어 범위 밖이라는 검산도 덧붙였다.
마지막으로 학생은 “문자 부분이 바뀐 문제에서는 이전 괄호를 복사하지 않고, 문장의 더하기·빼기를 먼저 확인한다. 괄호를 푼 뒤에는 경계값을 원식에 넣어 같은 의미인지 본다”고 정리했다. 반월동중2수학과외 수업에서 확인한 변화는 답을 맞힌 사실보다, 새 조건을 읽고 첫 식을 세우는 판단을 스스로 설명했다는 데 있었다.