반월동 고1수학과외







반월동 고1수학과외, 여집합과 차집합의 방향을 바꿔 읽은 사례
반월동에서 고1 수학을 공부하던 학생은 집합의 표현을 수직선으로 옮기는 문제에서 계산보다 먼저 의미를 판단해야 했다. 문제는 전체집합 \(U=\{1,2,3,4,5,6\}\), \(A=\{1,2,4\}\), \(B=\{2,3,5\}\)일 때 \(A\setminus B\)와 \((A\cup B)^c\)를 구하는 것이었다.
차집합의 순서를 반대로 읽다
학생은 \(A\setminus B\)를 두 집합의 차이로만 생각해 \(B\setminus A=\{3,5\}\)를 답으로 적었다. 그러나 차집합 \(A\setminus B\)는 A에 속하면서 B에는 속하지 않는 원소를 뜻하므로 결과는 \(\{1,4\}\)이다. 여집합은 반드시 전체집합 \(U\)를 기준으로 삼아야 하며, \(A\cup B=\{1,2,3,4,5\}\)이므로 \((A\cup B)^c=\{6\}\)이 된다.
차집합은 “앞의 집합에서 뒤의 집합을 제외한다”라고 읽고, 여집합은 “전체집합에서 해당 집합을 제외한다”라고 구분했다.
이 한 문장으로 차집합의 순서와 여집합의 기준을 분리하자, 식을 무작정 계산하지 않고 각 원소의 소속을 먼저 판단할 수 있었다.
수직선으로 표현이 바뀐 경우
다음에는 전체 범위를 \(U=[-2,4]\), \(A=(-1,3]\), \(B=[1,4]\)로 바꾸어 \(B\setminus A\)를 구했다. 이번에는 숫자 집합이 아니라 구간으로 표현되었지만, B에서 A에 포함되는 부분을 제거한다는 방향은 같았다.
\(B=[1,4]\)에서 \(A=(-1,3]\)와 겹치는 \([1,3]\)을 제외하면 \(B\setminus A=(3,4]\)이다. 3은 A에 포함되므로 제외되고, 4는 B에 포함되며 A에는 포함되지 않으므로 남는다. 끝점의 포함 여부도 함께 확인해야 한다.
기호를 말로 바꾸어 확인하기
마지막에는 집합식을 계산하지 않고 \(x=3.5\)와 \(x=3\)의 소속을 각각 판단하게 했다. \(x=3.5\)는 B에는 속하지만 A에는 속하지 않아 \(B\setminus A\)의 원소이고, \(x=3\)은 두 구간에 모두 속하므로 차집합의 원소가 아니다.
표현이 원소 나열에서 구간으로 바뀌어도 “앞의 범위에는 포함되고 뒤의 범위에는 포함되지 않는가”를 확인하면 차집합의 방향과 끝점 조건을 함께 검증할 수 있다.