반월동 고3수학과외

경계 하나가 바꾼 조건부확률의 표본공간

반월동 생활권에서 고3 수학과외를 진행하던 중, 학생이 조건부확률 문제의 답은 맞히고도 표본공간을 설명하지 못하는 장면이 있었다. 문제는 정수 x를 집합 S={-2,-1,0,1,2}에서 하나 고르는 상황이었다. 사건을 A: |x|≤1, 조건을 B: x≥0이라 할 때 P(A|B)를 구하는 문제였다.

학생은 풀이 첫 줄에 전체 후보를 나열하고, 절댓값 조건의 경계인 -1과 1도 표시했다. 그러나 조건 x≥0을 읽은 뒤에는 양수만 남겨야 한다고 생각해 0을 표본공간에서 제외했다. 그 결과 조건이 주어진 뒤의 표본공간을 {1,2}로 잡고, 사건에 해당하는 값은 1 하나뿐이라고 하여 답을 1/2로 적었다.

‘이상’과 ‘초과’가 갈라지는 순간

오류는 계산 중간이 아니라 조건부확률의 분모를 정하는 첫 판단에서 생겼다. 학생은 일반적으로 “조건을 만족하는 값만 남긴다”는 규칙은 알고 있었지만, 끝점 0이 포함되는지 확인하지 않은 채 x>0으로 바꾸어 버렸다. 표본공간을 복원하기 전에는 교집합 계산이나 분자 수정부터 하지 않도록 풀이를 멈추게 했다.

종이에 세 줄만 다시 쓰게 했다.

• 전체 표본공간: {−2,−1,0,1,2}
• 조건 B가 만든 표본공간: {0,1,2}
• 사건 A와 조건 B를 동시에 만족하는 값: {0,1}

그 뒤 각 후보를 원래 조건에 직접 대입했다. 0은 0≥0을 만족하고, |0|≤1도 만족하므로 어느 목록에서도 빠질 이유가 없었다. 따라서 P(A|B)=2/3이다. 여기서 사건 A는 관심 있는 결과의 모임이고, B는 확률을 다시 계산할 표본공간을 정하는 조건이라는 점을 문장으로 설명하게 했다. 반월동과외 수업에서도 이처럼 분모를 먼저 확정한 뒤 분자를 찾는 습관을 강조했다.

조건의 표현을 바꾸어 읽기

같은 숫자를 다시 내는 대신 조건의 위치를 바꾸었다. 이번에는 전체 집합을 그대로 두고 B': x>0, A: |x|≤1로 제시했다. 학생은 이전 풀이를 외워 답하지 못하도록 표본공간을 새로 만들었다. B'를 만족하는 값은 {1,2}, 그중 A에도 속하는 값은 {1}이므로 P(A|B')=1/2이다.

두 문제의 답이 달라진 까닭을 묻자 학생은 “0을 포함하는지는 숫자의 크기가 아니라 부등호의 끝점 표시가 결정한다”고 말했다. 이어 x≥0과 x>0을 나란히 적고, 등호가 붙은 쪽에서만 0을 남겼다. 단순히 경계값을 기억한 것이 아니라, 조건을 읽을 때 표본공간을 다시 구성하는 행동으로 바뀐 것이다.

조건을 제거했을 때도 남은 판단

마지막 검증에서는 조건 B를 아예 삭제하고 전체 표본공간에서 P(A)를 구하게 했다. 학생은 먼저 “이번에는 조건부 표본공간이 없으므로 분모는 전체 5개”라고 적었다. A를 만족하는 값은 −1, 0, 1의 세 개이므로 P(A)=3/5이다.

검산을 짧게 제한하자 학생은 전체 풀이를 반복하지 않고 경계값 0만 원래 두 조건에 대입했다. 조건이 x≥0일 때는 포함되고, x>0일 때는 제외되며, 조건이 없을 때는 전체 표본공간에 남는다는 사실을 확인했다. 새 문제에서도 먼저 조건사건을 따로 떼어 표본공간을 만들고, 끝점 후보를 원식에 넣어 포함 여부를 설명한다면 같은 판단이 유지된 것으로 보았다. 이 확인은 반월동고3수학과외 학습에서 정답보다 중요한, 분모를 결정하는 근거를 스스로 추적했는지를 보여 주었다.