산격동 중등수학과외

산격동중등수학과외, 닮은 삼각형 3:6과 4:8에서 비례식 방향 확인하기

닮은 두 삼각형에서 대응하는 한 변의 길이가 작은 삼각형 3, 큰 삼각형 6이고, 작은 삼각형의 다른 변 4에 대응하는 큰 삼각형의 길이를 구하는 문제를 생각해 보겠습니다. 구할 값은 큰 삼각형의 변이므로 답은 8입니다. 다만 대응변을 제대로 찾았더라도 비례식의 위아래 기준을 쓰는 도중 바꾸면 계산이 흔들릴 수 있습니다. 산격동중등수학과외에서는 답만 확인하기보다, 두 줄의 비례식에서 어느 순간 작은 삼각형과 큰 삼각형의 위치가 달라졌는지를 살펴보며 닮음비의 방향을 바로잡습니다.

대응변을 찾은 뒤에도 비례식이 어긋나는 이유

닮음에서는 각 변을 따로 외우기보다, 대응 꼭짓점을 같은 순서로 정한 뒤 대응변을 한 줄에 놓는 것이 중요합니다. 길이 3과 6이 대응하므로 작은 것 대 큰 것의 비는 3:6=1:2입니다. 작은 삼각형의 길이 4에 대응하는 큰 삼각형의 길이를 x라 하면, 같은 방향으로 3/6=4/x를 세울 수 있습니다. 교차곱하면 3x=6×4=24이므로 x=8입니다. 또는 큰 것 대 작은 것의 비를 쓰면 6/3=x/4이고, x=8이 됩니다. 두 식 모두 맞지만 한 식 안에서는 분자들이 모두 같은 삼각형의 길이여야 합니다. 예를 들어 3/6=x/4라고 쓰면 앞 분수는 작은 것/큰 것인데 뒤 분수는 큰 것/작은 것으로 바뀌어 같은 비를 비교하지 못합니다.

표와 화살표로 수정 이유를 남기는 방법

풀이를 고칠 때는 대응변을 표의 같은 줄에 적습니다. 첫 줄에는 작은 삼각형 3, 큰 삼각형 6을 쓰고, 다음 줄에는 작은 삼각형 4, 큰 삼각형 x를 씁니다. 그다음 ‘작은→큰’ 화살표를 두 줄에 똑같이 표시하면 3에서 6으로 2배가 된 관계가 4에서 x에도 적용되어야 함이 드러납니다. 따라서 x=4×2=8입니다. 이미 쓴 식을 지우기보다 기준이 어긋난 식을 남겨 두고, “분자의 길이는 모두 같은 삼각형에서 골랐나요?”라고 확인하는 편이 좋습니다. 이 질문에 작은 삼각형의 3과 4를 함께 가리키거나, 큰 삼각형의 6과 x를 함께 가리킬 수 있는지가 핵심입니다. 8을 얻었다는 사실만으로 방향 이해를 단정하지 않고, 식의 위아래가 왜 같은 삼각형인지 설명하는지도 함께 봅니다.

순서를 뒤집어도 길이 8이 되는지 확인하기

비교 과제에서는 큰 삼각형을 먼저 써서 6/3=x/4로 비례식을 세웁니다. 이때 닮음비는 큰 것 대 작은 것 6:3=2:1이며, x/4도 2:1이어야 합니다. 6×4=3x, 즉 24=3x이므로 x=8입니다. 기본 과제와 구하는 길이는 같지만, 비의 방향은 1:2가 아니라 2:1로 뒤집혔습니다. 순서가 바뀌었다고 답까지 달라지는 것은 아닙니다. 같은 방향의 두 비를 끝까지 유지했기 때문에 같은 대응변의 길이 8이 나옵니다. 검산은 8/4=2와 6/3=2를 비교하여 대응변 길이의 비가 같은지 확인하면 됩니다.

다음에는 학생이 도움 없이 큰 삼각형을 먼저 둔 식을 쓰고, 분자에 큰 삼각형의 6과 x를 함께 놓았는지 확인합니다. 이어서 6/3과 x/4가 모두 2가 된다는 근거를 말할 수 있는지 봅니다. 만약 답은 8인데 식의 기준이 다시 섞인다면 계산을 더 많이 반복하기보다, 멈춘 줄과 수정한 이유를 함께 기록해 어떤 순간에 닮음비 방향이 바뀌는지 다시 확인하는 것이 필요합니다.