산격동 중1수학과외
곱셈으로 바꾸어 약수의 개수를 판단한 풀이
산격동과외 수업에서 학생은 약수의 개수를 묻는 중1수학 문제를 풀며, 주어진 수를 어떤 곱셈 형태로 나타내야 하는지부터 점검했다. 산격중학교가 포함된 생활권에는 대구태전휴먼시아1단지와 꿈꾸는도서관 인근 생활권처럼 다양한 생활 공간이 있지만, 이번 풀이의 핵심은 장소가 아니라 수를 소인수의 곱으로 바꾸어 약수를 빠짐없이 세는 과정이었다.
첫 식에서 놓친 것은 수가 아니라 표현이었다
문제에는 360의 약수 개수를 구하라는 조건이 제시되어 있었다. 학생은 종이에 먼저 360=36×10이라고 적고, 36의 약수와 10의 약수를 각각 세어 곱하려 했다. 그러나 이 방법으로는 두 수가 공통 인수를 가지므로 약수가 중복될 수 있었다. 학생이 결과를 잘못 적기 시작한 최초의 판단은 36과 10을 서로 겹치지 않는 인수처럼 취급한 순간이었다.
교사는 계산 결과를 바로 고치기보다 “36과 10을 다시 소인수의 곱으로 적으면 어떤 수가 겹치는지 표시해 보자”고 했다. 학생은 식을 다음처럼 다시 썼다.
360=2×2×2×3×3×5=23×32×5
이제 약수 하나를 만들 때 2는 0개부터 3개까지, 3은 0개부터 2개까지, 5는 0개 또는 1개를 선택할 수 있다는 점을 식 옆에 표시했다. 따라서 선택 방법은 4×3×2=24가지이다. 앞의 36×10 방식은 버리지 않고, 두 수를 소인수로 분해해야 중복을 확인할 수 있다는 교정만 적용했다.
표의 숫자를 식으로 번역해 다시 판단하기
다음 활동에서는 숫자를 직접 주지 않고, 소인수와 지수를 표로 제시했다.
| 소인수 | 2 | 3 | 5 |
|---|---|---|---|
| 지수 | 2 | 1 | 2 |
질문은 이 수의 약수 개수를 구하라는 것이었다. 학생은 표의 숫자를 단순히 더해 2+1+2=5라고 적었다. 여기서도 약수의 개수와 지수의 합을 혼동하지 않도록, 각 소인수를 약수에 몇 번 사용할 수 있는지부터 문장으로 바꾸었다. 2는 0회·1회·2회로 3가지, 3은 0회·1회로 2가지, 5는 0회·1회·2회로 3가지 선택이 가능하다. 그러므로 약수의 개수는 (2+1)(1+1)(2+1)=18이다.
학생은 표를 식으로 연결하기 위해 해당 수를 22×3×52로 적었다. 다시 곱셈을 계산하면 4×3×25=300이므로, 표의 소인수와 지수가 실제 수 300을 나타낸다는 것도 확인했다. 이 과정에서 표의 각 열을 지수와 대응시키고, 지수에 1을 더하는 이유를 한 줄로 설명했다.
표현이 바뀌어도 같은 개념을 적용하기
이후에는 수식을 주지 않고 다음과 같은 문장형 조건을 제시했다. “어떤 수는 2를 세 번 곱한 것과 3을 두 번 곱한 것, 그리고 7을 한 번 곱한 것을 모두 곱해 만든 수이다. 이 수의 약수는 몇 개인가?”
학생은 숫자를 먼저 계산하지 않고 문장에서 곱셈의 횟수를 찾아 23×32×7로 옮겼다. 2의 지수는 3, 3의 지수는 2, 7의 지수는 1이므로 약수 개수는 (3+1)(2+1)(1+1)=24라고 설명했다. 질문의 순서가 “약수 개수”가 아니라 “약수 개수를 구하는 식을 먼저 쓰고 그 이유를 말하라”로 바뀌었을 때도, 소인수와 지수를 확인한 뒤 같은 식을 세웠다.
힌트 없이 원래 풀이를 재현하다
검증 문제로 180의 약수 개수를 제시했을 때는 도움을 주지 않았다. 학생은 먼저 180=18×10이라고 적은 뒤, 이전 오류를 떠올려 두 인수를 그대로 세지 않고 다시 분해했다.
180=22×32×5
학생은 “2는 세 가지, 3도 세 가지, 5는 두 가지 선택이 있으므로 약수는 3×3×2=18개”라고 스스로 설명했다. 이어 실제 약수 중 하나인 45를 32×5로 나타내고, 각 지수의 선택 범위에 들어가는지 확인했다. 반대로 2를 세 번 포함한 수는 180을 나누지 못하므로 약수가 될 수 없다고 덧붙였다.
마지막으로 22×32×5를 다시 곱해 180이 되는지 확인했다. 표현을 곱셈으로 바꾸고, 각 소인수의 사용 횟수를 선택한 뒤, 원래 수와 대조하는 흐름을 학생 혼자 재현한 것이다. 이런 방식의 산격동중1수학과외에서는 답만 확인하지 않고 약수 개수 판단이 시작되는 지점과 식의 근거까지 함께 살핀다.