장기동 중2수학과외

분모를 먼저 살핀 장기동 중2수학과외 수업

장기동과외 수업에서 학생은 기약분수와 소수 표현의 관계를 확인하는 문제를 받았다. 문제는 7/12를 소수로 나타내고, 유한소수인지 순환소수인지 판단하라는 내용이었다.

계산보다 먼저 해야 할 일

학생은 7을 12로 나누기 위해 세로셈을 시작했다. 70에서 60을 빼고 소수 첫째 자리의 5를 적은 뒤, 다시 100에서 96을 빼는 과정까지는 정확했다. 남은 수를 표시하고 40에 12를 몇 번 넣을지 계산했으며, 같은 나머지가 다시 나타나는지도 옆에 작게 적었다. 다만 풀이 첫 줄에서 분모 12를 그대로 보면서도 2와 5로 나누어지는지 따로 표시하지 않았다.

학생은 나눗셈 중 40이라는 나머지가 반복되자 소수 끝에 점을 찍었지만, 순환마디를 3 하나로 잘못 표시했다. 실제로는 7/12=0.58333…이므로 반복되는 부분은 3이다. 결과 자체는 맞는 방향이었지만, 학생이 처음 선택한 판단은 더 앞에 있었다. 분모의 소인수 구조를 확인하지 않은 채 나눗셈 결과의 모양만 보고 유한소수 여부를 결정하려 한 것이다.

기약분수의 분모에서 2와 5만 남으면 유한소수이고, 다른 소인수가 남으면 순환소수가 된다.

처음 판단을 한 줄만 바꾸기

교사는 이미 맞게 진행한 나눗셈을 지우게 하지 않고, 분모에만 짧은 표시를 추가하게 했다. 12=2×2×3으로 나누어 적은 뒤 2와 5가 아닌 3이 남는다는 점을 먼저 확인했다. 따라서 이 분수는 유한소수가 아니라 순환소수라는 결론을 나눗셈 전에 세웠다. 그다음 학생은 나머지를 순서대로 10, 4, 4라고 적었다. 같은 나머지 4가 되면 그 뒤 숫자가 반복된다는 규칙을 이용해 0.58\overline{3}으로 표현했다.

이 교정은 분모를 무조건 소수분해하라는 여러 절차를 덧붙인 것이 아니다. 기약분수인지 확인한 뒤 분모에 2와 5 이외의 인수가 남는지 먼저 보는 판단 하나만 남겼다. 학생은 6/15를 바로 판단하려다 분수가 기약인지 묻고, 2/5로 약분한 뒤 분모가 5만 남으므로 0.4라고 설명했다. 약분하지 않은 분모만 보고 순환소수라고 하지 않은 점이 확인됐다.

표현을 바꾸어 다시 확인한 문제

다음 문제는 분수에서 출발하지 않았다. 소수 0.2\overline{7}을 분수로 나타내고, 그 분수가 유한소수로 다시 바뀔 수 있는지 설명하는 형식이었다. 학생은 먼저 반복되는 한 자리 7을 표시하고, 10을 곱한 식과 100을 곱한 식을 나란히 적었다.

100x-10x=27.777…-2.777…으로 정리하여 90x=25를 얻었고, x=25/90=5/18로 약분했다. 여기서 학생은 계산을 멈추지 않고 18=2×3×3이라고 적었다. 2와 5가 아닌 3이 남으므로 5/18은 다시 유한하게 끝나지 않고 순환소수라는 질문의 방향까지 답했다. 분수에서 소수로 가던 앞 문제와 달리, 이번에는 소수에서 분수로 되돌아온 뒤 분모를 살폈다.

또 다른 카드에는 0.125, 0.4\overline{6}, 13/40이 섞여 있었다. 학생은 소수의 모양만 보고 판단하지 않고 각각 1/8, 7/15, 13/40으로 바꾸어 분모를 확인했다. 8과 40은 2의 거듭제곱으로 만들 수 있어 유한소수이고, 15에는 3이 남아 순환소수라고 구분했다.

힌트 없이 남은 판단을 확인한 장면

장기동중2수학과외의 독립 확인 문제로 21/140을 소수로 나타내고, 0.15와 같은 값인지 검산하라고 제시했다. 학생은 나눗셈부터 하지 않고 21/140을 3/20으로 약분했다. 이어 20=2×2×5라고 적고 2와 5만 있으므로 유한소수라고 판단했다. 3/20을 100배 하여 15가 된다는 점에서 0.15를 얻은 뒤, 0.15×20=3으로 되돌아가는 검산도 직접 말했다.

마지막으로 학생은 “기약분수로 만든 다음 분모에 2와 5만 남는지 확인하고, 남은 인수가 있으면 순환소수로 판단한다”고 자신의 첫 행동과 이유를 설명했다. 계산 결과만 맞힌 것이 아니라 분수와 소수 표현을 서로 바꾸어도 같은 기준을 재현했으며, 원래 값으로 돌아가는 검산 근거까지 스스로 제시했다.