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장기동 고2수학과외

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0/0을 결과 0으로 적은 순간

학생의 풀이 기록에는 다음과 같이 적혀 있었다.

limx→2 (x2−4)/(x−2) = 0/0 = 0

하지만 0/0은 극한값이 0이라는 뜻이 아니라, 직접 대입만으로는 값을 결정할 수 없는 부정형이다. 장기동에서 대구과외를 통해 극한을 공부할 때도 먼저 이 구분을 분명히 해야 한다.

약분할 수 있도록 인수분해하기

분자를 차의 제곱으로 바꾸면 공통인수가 드러난다.

x2−4=(x−2)(x+2)

따라서 x≠2인 범위에서

(x2−4)/(x−2)=((x−2)(x+2))/(x−2)=x+2

이제 극한을 계산하면

limx→2(x+2)=4

교정 전후 풀이 비교

구분풀이판단
교정 전 직접 대입하여 0/0=0 부정형을 극한값으로 오해함
교정 후 인수분해 → 공통인수 약분 → 대입 극한값은 4

같은 구조의 고차식 문제

다음 극한도 공통인수를 찾아야 한다.

limx→1 (x3−1)/(x−1)

분자를 인수분해하면

x3−1=(x−1)(x2+x+1)

그러므로

limx→1(x2+x+1)=1+1+1=3

최종 검산

처음 문제에서 x=2를 약분 전 식에 넣으면 0/0이 나온다. 이는 계산 종료 신호가 아니라 식을 변형해야 한다는 신호다. 약분한 식 x+2에 x=2를 대입하면 4가 되므로, 최종 답은 다음과 같다.

limx→2 (x2−4)/(x−2)=4

장기동 고2수학과외 학부모 후기

경시형 문제를 풀어 본 날이라 그런지 오답을 정리하는 모습이 눈에 띄었어요. 다음 일정을 준비하다가 답을 통째로 고치는 게 아니라, 풀이에서 처음 잘못된 식만 골라 네모를 쳐 두더라고요. 어디서부터 다시 봐야 할지 본인도 바로 찾을 수 있게 해둔 모습이었어요. 장기동 수학과외 이야기를 나누던 때에도 이런 장면이 있었는데, 예전에는 정답을 확인하면 다른 풀이가 맞을 가능성까지 다시 살피지는 않았거든요. 그런데 학교 단원평가 전날 문제를 펼쳤을 때는 처음 어긋난 식을 먼저 찾아 표시하고, 그 부분부터 확인할 순서가 보이도록 남겨뒀어요. 답만 맞추는 것과는 달리 틀어진 지점을 짚어 둔 게 확실히 달랐습니다.

★★★★★학부모 후기

새 서술형 문제를 풀고 난 아이가 답만 보고 넘어가지 않더라고요. 문제에서 요구한 범위와 조건이 답에 빠졌는지 다시 살펴본 뒤, 나중에 볼 부분에는 짧게 흔적도 남겨두었어요. 예예전에는 막힌 곳이 있어도 어디서 멈췄는지 표시하지 않고 그대로 지나가곤 했거든요. 새 문제집을 처음 꺼낸 날에도 비슷한 장면을 봤습니다. 한 문제를 끝낸 뒤 단위와 범위를 먼저 확인하고 답을 적은 뒤에도 조건이 빠지지 않았는지 살폈어요. 장기동 수학과외 관련 자료를 정리하다가 옆에서 보게 된 모습인데, 답 자체보다 문제에서 요구한 내용을 다시 대조하는 과정이 눈에 띄었습니다. 마지막에는 다시 확인할 이유가 보이도록 문제 옆에 짧은 표시를 남겨두었어요.

★★★★★학부모 후기

학원 일정이 늦게 끝난 주말에도 예전 같으면 미뤘을 공부를 조금씩 해보려는 모습이 눈에 띄었습니다. 장기동 수학과외 선생님은 틀린 문제를 숨기지 않도록 편하게 물어봐 주시고, 그날 할 일과 다음에 볼 내용을 짧게 나눠 정리해 주셨습니다. 계획이 밀려도 다시 조절해 이어가는 습관이 생긴 점이 가장 기억에 남았습니다.

★★★★★학부모 후기

장기동에서 수학 과외를 시작하기 전에는 질문이 어려워 시험 전에도 새 문제만 많이 풀었습니다. 어느 날 틀린 문제를 다시 펼쳐 보니 선생님이 학교 과제와 시험 일정을 살펴 수업량을 조절하고, 제가 혼자 복습할 시간도 남겨 주셨다는 걸 느꼈습니다. 이제는 어려운 문제가 나와도 바로 피하지 않고 한 번 더 생각해 보게 됐습니다.

★★★★☆학부모 후기

장기동에서 수학 과외를 시작한 뒤에도 아이는 답이 바로 나오지 않으면 한 문제에 오래 매달리곤 했습니다. 선생님은 틀린 풀이를 처음부터 다시 시키기보다 막힌 지점을 함께 찾고, 그날 할 일과 다음 복습을 나눠 시험 후 일정까지 조절해 주셨습니다. 요즘은 먼저 질문한 이야기를 하고 수업 내용도 부모에게 들려줘 조금씩 달라진 모습이 느껴집니다.

★★★★★학부모 후기