장기동 고1수학과외
장기동 고1수학과외, 두 조건이 겹친 배열에서 경우를 놓치지 않는 법
장기동에서 고1 수학을 공부하던 학생은 배열 문제의 계산보다 조건을 읽는 순서에서 자주 멈췄다. “A와 B가 이웃하고, C는 양 끝에 오지 않는다”는 문장을 보고 곧바로 순열 공식을 적용했지만, 두 조건을 동시에 만족하는 배열만 남겨야 한다는 점을 놓쳤다.
조건을 따로 세어 더했던 순간
학생은 5명 A, B, C, D, E를 한 줄로 배열하는 문제에서 먼저 A와 B가 붙는 경우를 계산하고, 이어 C가 양 끝이 아닌 경우를 별도로 계산했다. 이후 두 결과를 합하면 된다고 생각했다. 그러나 두 조건을 동시에 만족하는 배열을 구하는 문제였으므로, 조건별 경우를 단순히 더하면 겹치는 배열이 중복되거나 조건을 모두 반영하지 못한다.
조건이 두 개라면 각각 계산한 뒤 더하는 것이 아니라, 한 배열이 두 조건을 함께 만족하는지 확인해야 한다.
기호의 역할부터 배열 구조를 세웠다
교사는 계산을 시작하기 전에 각 기호가 어떤 조건과 연결되는지 번호를 붙이게 했다. A와 B가 이웃한다는 조건은 두 사람을 하나의 묶음으로 보는 출발점이 되고, C가 양 끝에 오지 않는다는 조건은 묶음과 나머지 사람을 배열한 뒤 C의 위치를 걸러내는 기준이 된다.
먼저 AB 또는 BA를 하나의 묶음으로 묶으면 배열 대상은 묶음, C, D, E의 4개가 된다. 이들을 배열한 뒤 C가 양 끝에 놓인 경우를 제외해야 하므로, 두 조건을 한 흐름 안에서 처리할 수 있다. 학생은 조건을 식으로 옮기기 전에 배열 대상과 제외할 위치를 구분하면서 풀이 순서를 바로잡았다.
문장 조건을 벤 다이어그램으로 옮긴 적용
다음에는 “A와 B가 붙는 배열”과 “C가 가운데 세 자리 중 하나에 놓이는 배열”을 두 집합으로 표현했다. 두 조건을 모두 만족하는 영역이 문제에서 요구하는 경우라는 점을 표시한 뒤, 단순히 두 집합의 크기를 합산하지 않고 교집합을 찾아야 한다는 것을 확인했다.
이번에는 숫자 배열이 아니라 1, 2, 3, 4, 5 중 서로 다른 세 수를 골라 만들 수 있는 세 자리 수에 조건을 바꾸었다. 백의 자리와 일의 자리가 모두 홀수가 아니면서, 숫자 1과 3이 함께 선택되는 경우를 생각하게 했다. 배열의 대상과 조건의 위치가 달라졌지만, 조건을 각각 따로 세지 않고 동시에 충족하는 경우만 남기는 원칙은 유지했다.
처음 보는 표현에서 교집합을 확인했다
마지막에는 “남학생 3명과 여학생 3명을 한 줄로 세울 때, 양 끝이 모두 여학생이고 특정 남학생 두 명이 이웃하지 않는 경우”를 제시했다. 학생은 먼저 양 끝 조건으로 가능한 배열의 범위를 정한 다음, 두 남학생이 이웃하는 경우를 제외했다.
풀이를 마친 뒤에는 순열과 조합 중 어떤 개념을 선택했는지, 각 조건이 어느 단계에 반영되었는지를 짧게 설명하게 했다. 조건을 하나씩 계산한 흔적이 아니라 두 조건의 교집합을 끝까지 유지했는지가 최종 판단 기준이 되었다.