송현동 고2수학과외







같은 재귀식인데 수열이 달라지는 이유
| 수열 | 초기항 | 재귀식 | 앞의 다섯 항 |
|---|---|---|---|
| 수열 A | a₁=1 | aₙ=2aₙ₋₁+1 | 1, 3, 7, 15, 31 |
| 수열 B | b₁=3 | bₙ=2bₙ₋₁+1 | 3, 7, 15, 31, 63 |
두 수열은 재귀식이 같지만 초기항이 다르므로 서로 다른 수열이다. 재귀식은 앞 항에서 다음 항을 만드는 규칙이고, 초기항은 그 규칙을 적용할 출발점이다.
학생 풀이에서 생긴 오류
“재귀식이 같으므로 두 수열은 같다”라고 판단하면 안 된다. 수열 A는 첫 항이 1이고 수열 B는 첫 항이 3이므로 첫 항부터 다르다. 이후 항을 만드는 방법만 같을 뿐이다.
정의 읽는 순서
- 초기항을 확인한다.
- 재귀식의 적용 범위를 확인한다.
- 초기항에 재귀식을 순서대로 적용한다.
예를 들어 a₁=2, aₙ=aₙ₋₁+3 (n≥2)라면
a₂=5, a₃=8, a₄=11, a₅=14
따라서 a₅=14이다.
새 문제에서의 판단
다음 두 수열을 비교하자.
c₁=4, cₙ=cₙ₋₁−2 (n≥2)
d₁=4, dₙ=dₙ₋₁−2 (n≥2)
초기항과 재귀식이 모두 같으므로 두 수열의 모든 항은 같다. 실제로 두 수열은 각각 4, 2, 0, −2, −4, …가 된다.
최종 확인 기준
귀납적으로 정의된 수열은 초기항과 재귀식이 한 세트로 주어져야 한다. 초기항만 다르면 같은 재귀식으로도 다른 수열이 만들어지고, 초기항과 재귀식이 모두 같으면 같은 수열로 결정된다.
송현여자고등학교에서 수열 풀이를 기록할 때도 식만 옮겨 적지 말고, 초기항과 재귀식을 함께 적어야 조건 누락을 막을 수 있다.
설명을 그림으로 바꾸어 보고 싶다면
도형이나 함수의 위치 관계를 배우고 있다면 문장만 읽고 계산하기 전에 간단한 그림을 그려 보세요. 그림에 표시한 내용이 문제에 실제로 주어진 것인지 추측한 것인지도 구분해야 합니다. 보기 좋게 그리는 것보다 조건을 빠뜨리지 않고 옮기는 것이 목적입니다.
여러 경우를 나눈 뒤 빠진 경우를 확인하기
경우를 나누어 푸는 단원에서는 각 경우의 계산뿐 아니라 분류 기준도 적어 보세요. 같은 경우를 두 번 세거나 경계에 해당하는 경우를 빼지 않았는지 확인할 수 있습니다. 답을 합치기 전에 처음의 분류가 전체를 포함하는지 돌아보는 과정이 필요합니다.
현재 학습에서 함께 살펴볼 범위
고등 수학
현재 수강 과목과 시험 범위를 먼저 확인하고 개념, 식의 변형, 함수와 그래프, 문제 조건의 해석을 연결합니다. 선택 과목은 실제 이수 범위에 맞춰 준비하며 내신 답안과 모의고사 풀이 시간은 구분해 점검합니다.
고2 점검 기준
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선택 과목: 변화율의 의미
미분을 배우는 과목을 수강한다면 f(x) = x³에서 f′(x) = 3x²를 구하고 x = 1에서의 순간변화율이 3임을 확인합니다. 계산 규칙을 적용하는 것과 그래프에서 변화율을 해석하는 것을 구분합니다.
선택 과목: 확률의 조건
확률을 배우는 과목을 수강한다면 공정한 주사위에서 짝수가 나올 확률을 3/6 = 1/2로 구합니다. 가능한 결과가 같은 가능성을 갖는다는 조건을 확인한 뒤 전체 경우와 해당 경우를 구분합니다.
위 내용은 지도 범위와 연습 방법을 설명하는 예시입니다. 학생이 이미 배운 내용과 현재 진도에 맞춰 적용하며, 모든 내용을 한 수업에서 진행하지 않습니다.
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