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송현동 고2수학과외

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같은 재귀식인데 수열이 달라지는 이유

수열 초기항 재귀식 앞의 다섯 항
수열 A a₁=1 aₙ=2aₙ₋₁+1 1, 3, 7, 15, 31
수열 B b₁=3 bₙ=2bₙ₋₁+1 3, 7, 15, 31, 63

두 수열은 재귀식이 같지만 초기항이 다르므로 서로 다른 수열이다. 재귀식은 앞 항에서 다음 항을 만드는 규칙이고, 초기항은 그 규칙을 적용할 출발점이다.

학생 풀이에서 생긴 오류

“재귀식이 같으므로 두 수열은 같다”라고 판단하면 안 된다. 수열 A는 첫 항이 1이고 수열 B는 첫 항이 3이므로 첫 항부터 다르다. 이후 항을 만드는 방법만 같을 뿐이다.

정의 읽는 순서

  1. 초기항을 확인한다.
  2. 재귀식의 적용 범위를 확인한다.
  3. 초기항에 재귀식을 순서대로 적용한다.

예를 들어 a₁=2, aₙ=aₙ₋₁+3 (n≥2)라면

a₂=5, a₃=8, a₄=11, a₅=14

따라서 a₅=14이다.

새 문제에서의 판단

다음 두 수열을 비교하자.

c₁=4, cₙ=cₙ₋₁−2 (n≥2)

d₁=4, dₙ=dₙ₋₁−2 (n≥2)

초기항과 재귀식이 모두 같으므로 두 수열의 모든 항은 같다. 실제로 두 수열은 각각 4, 2, 0, −2, −4, …가 된다.

최종 확인 기준

귀납적으로 정의된 수열은 초기항과 재귀식이 한 세트로 주어져야 한다. 초기항만 다르면 같은 재귀식으로도 다른 수열이 만들어지고, 초기항과 재귀식이 모두 같으면 같은 수열로 결정된다.

송현여자고등학교에서 수열 풀이를 기록할 때도 식만 옮겨 적지 말고, 초기항과 재귀식을 함께 적어야 조건 누락을 막을 수 있다.

설명을 그림으로 바꾸어 보고 싶다면

도형이나 함수의 위치 관계를 배우고 있다면 문장만 읽고 계산하기 전에 간단한 그림을 그려 보세요. 그림에 표시한 내용이 문제에 실제로 주어진 것인지 추측한 것인지도 구분해야 합니다. 보기 좋게 그리는 것보다 조건을 빠뜨리지 않고 옮기는 것이 목적입니다.

여러 경우를 나눈 뒤 빠진 경우를 확인하기

경우를 나누어 푸는 단원에서는 각 경우의 계산뿐 아니라 분류 기준도 적어 보세요. 같은 경우를 두 번 세거나 경계에 해당하는 경우를 빼지 않았는지 확인할 수 있습니다. 답을 합치기 전에 처음의 분류가 전체를 포함하는지 돌아보는 과정이 필요합니다.

현재 학습에서 함께 살펴볼 범위

고등 수학

현재 수강 과목과 시험 범위를 먼저 확인하고 개념, 식의 변형, 함수와 그래프, 문제 조건의 해석을 연결합니다. 선택 과목은 실제 이수 범위에 맞춰 준비하며 내신 답안과 모의고사 풀이 시간은 구분해 점검합니다.

고2 점검 기준

실제 수강하는 선택 과목과 학교 평가 범위를 확인합니다. 모든 학생에게 같은 선택 과목의 내용을 적용하지 않습니다.

수업 진행 예시

선택 과목: 변화율의 의미

미분을 배우는 과목을 수강한다면 f(x) = x³에서 f′(x) = 3x²를 구하고 x = 1에서의 순간변화율이 3임을 확인합니다. 계산 규칙을 적용하는 것과 그래프에서 변화율을 해석하는 것을 구분합니다.

선택 과목: 확률의 조건

확률을 배우는 과목을 수강한다면 공정한 주사위에서 짝수가 나올 확률을 3/6 = 1/2로 구합니다. 가능한 결과가 같은 가능성을 갖는다는 조건을 확인한 뒤 전체 경우와 해당 경우를 구분합니다.

위 내용은 지도 범위와 연습 방법을 설명하는 예시입니다. 학생이 이미 배운 내용과 현재 진도에 맞춰 적용하며, 모든 내용을 한 수업에서 진행하지 않습니다.

수업 진행 안내

상담 → 선생님 연결 → 첫 수업 → 정규 수업

학생의 학습 상황을 상담하고, 선생님과 수업 방식이 맞는지 확인한 뒤 시간·횟수·비용을 정합니다. 숙제 확인과 보호자 피드백은 학생별로 조율하며, 보강과 일정·선생님 변경이 가능합니다.

고등 과외 수업료

월 수업료 · 주 2회 기준
학교급방문 수업화상 수업
고등33~50만 원30~46만 원

회당 수업 시간에 따라 금액이 달라집니다. 주당 횟수와 회당 시간, 최종 월 수업료는 상담에서 정합니다.

주 1회부터 주 3회 이상까지 횟수를 조율할 수 있습니다. 같은 회당 시간으로 주 1회 진행할 경우, 위 주 2회 금액의 절반이 기준입니다.

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송현동 고2수학과외 수업 후기

학교 행사가 끝난 저녁, 지나가다 아이 시험지를 봤는데 한쪽에 숫자들이 따로 적혀 있더라고요. 틀린 문제를 모아둔 건가 했더니 마지막에 검산할 문제 번호만 골라 적어둔 거였어요. 전에는 막힌 이유를 짧게라도 남기는 일이 거의 없어서, 이런 식으로 다시 볼 문제를 가려둔 모습이 조금 낯설었습니다. 송현동 수학과외 이야기를 나누던 때에도 저는 아이가 문제를 풀고 나서 어디를 다시 확인할지 정해두는 모습까지는 생각하지 못했어요. 그런데 다음 시험 계획을 세우던 날에도 같은 방식으로 검산할 번호를 먼저 추려 놓더라고요. 필요한 곳에 표시해 둔 뒤에는 그 부분을 붙잡고 있지 않고 바로 다음 일정으로 넘어갔습니다. 시험지 한쪽에 남은 몇 개의 번호가 전과는 다르게 보였어요.

★★★★★수업 후기

시험지를 파일에 넣어 보관하던 날, 아이가 답을 맞힌 문제 몇 개를 그냥 넘기지 않고 따로 접어 두더라고요. 틀린 문제도 아니고 답은 맞았는데, 검산을 못 한 것만 골라 둔 게 조금 의외였어요. 왜 접어 두었나 싶어 보니 나중에 다시 확인하려는 표시였어요. 원래는 공부가 끝나면 맞았는지 틀렸는지만 보고 지나갔고, 다음에 살펴볼 문제를 따로 남겨 두는 일은 없었거든요. 송현동 수학과외 이야기를 나누던 중에도 제가 이런 부분을 눈여겨보게 됐는데, 이번에는 풀이를 전부 다시 하는 대신 검산이 빠진 문제만 추려 놓았습니다. 빈칸 문제를 풀던 날에도 같은 식으로 전부 표시하지는 않았어요. 검산이 필요한 것만 골라 한 부분을 다시 살펴보고, 그 문제와 상관없는 내용까지 붙잡고 있지는 않더라고요. 시험지 귀퉁이에 남은 작은 접힌 자국이 어떤 문제를 다시 볼지 정확히 가리키고 있었어요.

★★★★★수업 후기

숙제를 미루다 시험 직전에 한꺼번에 하려던 아이가 송현동 수학 수업을 받으며 조금씩 달라졌습니다. 모르는 문제를 만나도 선생님께 편하게 묻고, 그날 할 일과 다음에 복습할 내용을 나누어 설명해 주셔서 부담이 줄어든 모습이었습니다. 수업 후에는 무엇을 다시 봐야 하는지 스스로 정리하는 모습이 보여 계속 지켜보고 있습니다.

★★★★★수업 후기

선생님은 부담되는 학습량을 부모와 조율하고, 모르는 점을 편하게 질문하도록 기다려 주셨습니다. 송현동에서 수학 과외를 시작할 때만 해도 시험이 다가오면 아이가 숙제를 미루다가 한꺼번에 하곤 했습니다. 어느 주말에는 스스로 책상에 앉아 예상보다 오래 공부했고, 이제는 맞힌 문제도 풀이가 괜찮았는지 다시 살펴보는 모습이 보입니다.

★★★★★수업 후기

시험이 끝난 뒤 아이와 다음 공부 계획을 이야기하다 보니, 예전처럼 한 과목에만 오래 매달리지 않으려는 모습이 보였습니다. 송현동 수업에서는 어려운 문제 뒤에 부담 없이 풀 문제를 섞어 숙제와 복습을 조절하고, 막히면 설명을 들은 뒤 다시 시도하게 해 주셨습니다. 수업 후 스스로 해냈다고 말하는 날이 조금씩 늘어 부모로서 흐뭇했습니다.

★★★★★수업 후기

학생별 1:1 수업 안내

수업은 학생별 1:1로 진행하며, 현재 학습 상태와 목표에 따라 수업 내용을 달리합니다.