송현동 고1수학과외
송현동 고1수학과외: 매개변수가 있는 부등식에서 경계값을 놓치지 않는 연습
부등식의 모양을 보자마자 계수로 나누던 학생이 있었다. 문제는 (a-1)x > a+2의 해를 구하는 것이었지만, a-1의 부호를 확인하지 않아 부등호 방향과 a=1일 때의 상황을 함께 놓쳤다.
나누기 전에 매개변수의 경계를 세우다
풀이를 멈추고 x의 계수인 a-1이 양수인지, 음수인지, 0인지 세 경우로 나누어 적었다. a>1이면 부등호 방향이 유지되고, a<1이면 방향이 바뀐다. 특히 a=1이면 식이 0·x>3이 되어 성립하는 x가 없다는 점을 확인했다.
a=1은 단순히 나눌 수 없는 값이 아니라, 부등식의 해 자체를 따로 판단해야 하는 경계값이다.
이 기준을 적용하면서 학생은 계산식 옆에 ‘계수의 부호’를 짧게 표시했다. 덕분에 a<1인 경우를 풀 때 부등호를 그대로 두는 실수가 줄었다.
질문의 방향을 바꾸어 적용하기
다음에는 해가 모든 실수인 a의 범위를 묻는 대신, 특정 실수 x=2가 해가 되도록 하는 a의 조건을 구하게 했다. 원래 식에 x=2를 넣으면
(a-1)·2 > a+2이므로 a>4가 된다.
변수 x에 대한 해의 범위를 구할 때와 매개변수 a의 범위를 구할 때 문자의 역할이 달라진다는 점을 확인했다. 같은 부등식이라도 무엇을 미지수로 보는지 먼저 정해야 한다는 사실이 풀이에 드러났다.
새로운 식에서 결과를 확인하다
마지막에는 (b+2)x ≤ 4-b에서 b=-2, b=0, b=3을 각각 골라 해의 방향을 판정하게 했다. b=-2에서는 0·x≤6이므로 모든 실수가 해이고, b=0에서는 x≤2, b=3에서는 x≥-1이 되었다.
세 경우의 결과가 계수의 부호와 일치하는지 확인한 뒤, 경계값에서는 나눗셈을 하지 않고 식 자체를 판단했다. 다음 날 재시험에서도 풀이 옆에 매개변수 계수의 부호와 경계값을 먼저 적어 조건 누락 없이 답을 완성했다.