송현동 중1수학과외

문장의 방향을 읽고 최대공약수와 최소공배수를 고른 과정

송현동의 기계철제단지와 솔빛마을주공아파트가 있는 생활권에서 중1 수학 풀이를 살펴보던 중, 학생이 최대공약수와 최소공배수를 자꾸 서로 바꾸어 쓰는 장면이 있었다. 대서중학교와 송현여자중학교가 포함된 생활권에서 자주 접할 수 있는 유형이지만, 숫자 계산보다 먼저 문제의 관계를 읽는 일이 핵심이었다. 이번 풀이에서는 송현동과외 수업 중 채점이 끝난 한 문제를 그대로 따라가며 판단이 바뀌는 과정을 확인했다.

정답보다 먼저 어긋난 한 줄

문제는 “24와 36을 모두 나누어떨어지게 하는 가장 큰 자연수를 구하여라”였다. 학생은 24와 36을 소인수로 나타내지 않고, 문제지의 ‘가장 큰’이라는 말에 동그라미를 친 뒤 곧바로 “최소공배수”라고 적었다. 이어서 24와 36을 곱해 864를 계산했다. 계산 과정 자체가 틀린 것이 아니라, 공통으로 나누는 수를 찾는 문제인지, 두 수의 배수를 찾는 문제인지 확인하기 전에 ‘가장 큰’이라는 표현만으로 종류를 결정한 것이 최초의 어긋난 판단이었다.

가장 큰가 작은가보다 먼저, 구하는 수가 두 수를 나누는 수인지 두 수의 배수인지 확인한다.

학생이 적은 식 옆에 두 수의 관계를 다시 표시했다. “구하는 수가 24와 36을 나눈다”는 방향은 최대공약수이고, “구하는 수가 24와 36의 배수가 된다”는 방향은 최소공배수라고 짧게 적었다. 그 뒤 24=2×2×2×3, 36=2×2×3×3으로 나타내고, 공통으로 들어 있는 인수 2×2×3을 골라 12를 얻었다. 이미 계산한 인수분해 과정은 유지하되, 선택 기준만 ‘가장 큰’에서 ‘공통으로 나누는 수’로 바꾼 것이다.

같은 개념을 다른 모양으로 다시 읽기

교정 직후에는 숫자만 바꾼 문제가 아니라 표현을 바꾼 문제를 제시했다. 이번에는 “18개씩 담을 수 있는 상자와 24개씩 담을 수 있는 상자에 물건을 남김없이 담으려 한다. 두 상자의 용량을 모두 나누는 가장 큰 묶음은 몇 개인가?”라고 물었다. 학생은 문장 속 ‘모두 나누는’이라는 관계에 밑줄을 긋고, 18=2×3×3, 24=2×2×2×3으로 적었다. 공통 인수는 2×3이므로 답을 6이라고 썼다.

이어서 문제의 방향을 바꾸어 “18과 24의 배수 중 두 수로 모두 나누어떨어지는 가장 작은 수”를 구하게 했다. 학생은 이번에는 구하는 수가 18과 24의 배수라는 점을 먼저 표시했다. 18과 24의 인수에서 각 소수가 나타난 횟수 중 더 많은 것을 사용하여 2×2×2×3×3을 만들고 72를 구했다. 앞의 문제에서 공통으로 겹치는 인수만 고른 것과 달리, 이번에는 두 수를 모두 포함해야 하므로 필요한 인수의 개수를 빠짐없이 가져온다는 차이도 한 문장으로 설명했다.

보기 없이 다시 세운 판단

마무리 검증에서는 도움말과 선택지를 가리고 “30과 45를 모두 나누는 가장 큰 자연수”를 제시했다. 학생은 먼저 “구하는 수가 30과 45의 약수”라고 적고, 30=2×3×5, 45=3×3×5로 분해했다. 공통 인수 3×5를 선택해 15를 얻은 뒤, 30÷15=2, 45÷15=3이라고 확인했다. 두 수가 모두 나누어떨어지므로 조건에 맞고, 공통 인수에는 3과 5만 각각 한 번씩 들어 있으므로 더 큰 공약수를 만들 수 없다고 설명했다.

곧바로 “30과 45의 배수가 되는 가장 작은 자연수”도 물었다. 학생은 문제의 방향이 달라졌음을 스스로 표시하고 2×3×3×5, 즉 90을 구했다. 90÷30=3, 90÷45=2로 되돌려 확인하면서, 앞의 15와 답이 다른 이유가 ‘가장 큰 수’와 ‘가장 작은 배수’의 차이가 아니라 약수 관계와 배수 관계의 차이라고 정리했다. 이처럼 송현동중1수학과외에서는 단어 하나만 보고 선택하지 않고, 인수와 지수로 수를 나타낸 뒤 조건에 맞는 인수를 고르는 과정을 독립적으로 재현하는지 확인한다.