송현동 중3수학과외

송현동 중3수학과외에서 살펴본 근호 곱셈의 경계

송현동과외 수업에서 대서중학교와 송현여자중학교가 포함된 생활권의 중3 학생이 다음 식을 풀어 왔습니다.

2√6 × 3√15

학생은 풀이 옆에 “근호가 있는 수는 안의 수끼리 곱한다”고 적고, 곧바로 2×3√(6×15)=6√90이라고 썼습니다. 여기까지는 우연히 결과가 맞는 것처럼 보였지만, 다음 문제에서 같은 방식이 흔들렸습니다.

√12 × 4√3

학생은 이번에도 계수와 피근수를 한 덩어리로 보아 √(12×4)√3처럼 적은 뒤, “√48√3=√144=12”라고 결론 냈습니다. 실제로 이 식의 결과도 12이므로 답만 보면 오류를 찾기 어렵습니다. 그러나 풀이 기록에서는 근호 밖의 4를 먼저 어디에 배치해야 하는지 판단하지 않았습니다.

답보다 먼저 확인한 첫 판단

학생의 첫 번째 문제는 근호 밖 계수와 근호 안 피근수를 한 번에 섞어 곱한 것이었습니다. 근호가 있는 수의 곱셈에서는 경계를 먼저 지켜야 합니다. 근호 밖의 수는 근호 밖의 수끼리, 근호 안의 수는 근호 안의 수끼리 곱해야 합니다.

따라서 첫 식은 다음처럼 두 줄로 나누어 적는 것이 정확합니다.

2√6 × 3√15
=(2×3)√(6×15)
=6√90

이때 6과 15를 곱해 얻은 90은 피근수이고, 앞의 6은 근호 밖 계수입니다. 두 위치를 구분한 뒤에야 식을 간단히 할 수 있습니다. 반대로 두 번째 식도 먼저 4√(12×3)=4√36으로 만든 뒤, 4×6=24가 됩니다. 학생의 답 12는 계산 과정에서 계수 4를 피근수 안으로 잘못 옮긴 결과입니다. 앞서 우연히 같은 값처럼 보인 것은 식을 한꺼번에 처리했기 때문이지, 경계를 지킨 풀이였기 때문은 아닙니다.

바꾼 것은 한 가지 표시뿐

교정에서는 여러 계산법을 추가하지 않고, 학생이 처음 식을 쓰기 전에 근호 밖과 안에 각각 동그라미를 표시하는 행동만 고쳤습니다. 다음 문제에서 학생은 먼저 4에 바깥 동그라미, 12와 3에 안쪽 동그라미를 표시했습니다.

(바깥) 4 × √(안쪽 12) × √(안쪽 3)
=4√(12×3)
=4√36
=24

이미 알고 있던 √36=6 계산은 그대로 유지하고, 처음 섞었던 위치만 바로잡은 것입니다. 이 표시 덕분에 “계수끼리 먼저 곱하는 경우”와 “피근수끼리 곱하는 경우”가 식에서 분리되었습니다.

표현을 바꾼 새 문제

며칠 뒤 송현동중3수학과외 수업에서는 숫자만 바꾼 식 대신, 계수와 근호의 위치를 다르게 제시했습니다.

3√5 × √20 × 2

학생은 이번에는 오른쪽 끝의 2를 놓치지 않고, 먼저 근호 밖의 수를 묶었습니다.

(3×2)√(5×20)
=6√100
=6×10
=60

이번에는 계수가 식의 양끝에 나뉘어 있고, 피근수 20이 두 번째 근호에 놓여 있었지만 기준은 같았습니다. 학생은 “근호 밖에 있는 3과 2는 계수끼리, 근호 안의 5와 20은 피근수끼리 곱한다”고 설명했습니다. 조건이 식의 앞뒤에 흩어져 있어도 경계가 바뀌지는 않는다는 점을 스스로 확인한 장면입니다.

힌트 없이 다시 세운 기준

마지막에는 다음 문제를 풀이 지시 없이 제시했습니다.

√18 × 5√2 × √8

학생은 종이에 먼저 “계수는 5 하나, 피근수는 18·2·8”이라고 적었습니다.

√18 × 5√2 × √8
=5√(18×2×8)
=5√288

그리고 피근수 안에서 288을 144×2로 정리하여 5√288=5√(144×2)=60√2라고 썼습니다. 검산할 때는 곱셈 전후의 값을 비교했습니다. √18×√2=√36=6이고, 여기에 5와 √8을 곱하면 30√8=30×2√2=60√2가 되어 같은 결과가 나옵니다.

학생은 마지막에 “근호 밖 계수는 밖에서 따로 곱하고, 근호 안의 수만 피근수로 묶은 뒤 간단히 한다. 검산에서도 같은 경계를 유지해야 한다”고 설명했습니다. 레이크뷰행복작은도서관 인근 생활권에서 진행한 이 풀이 기록은, 근호 곱셈의 답보다 먼저 안팎의 경계를 선택하는 일이 핵심임을 보여 줍니다.