송현동 고3수학과외

끝점에서 멈춘 풀이를 다시 세우다

송현여자고등학교 주변 생활권에서 진행한 오답 복기에서 학생이 가져온 문제는 함수의 최댓값을 묻는 유형이었다. 식 자체는 복잡하지 않았지만, 결론을 바꾸는 조건이 정의역의 양 끝에 숨어 있었다. 학생은 수치를 먼저 계산하기보다 구조를 나누어 보는 연습이 필요했고, 이 과정은 송현과외 수업에서 진행한 조건 누락 방지 훈련과도 연결되었다.

함수 f(x)=|x-2|+x의 정의역이 0≤x≤3일 때 최댓값과 최솟값을 구하여라.

학생은 절댓값 안의 식이 0이 되는 x=2를 찾아 구간을 나누었다. 0≤x≤2에서는 f(x)=2-x, 2≤x≤3에서는 f(x)=2x-2라고 정리한 뒤, x=2에서의 함수값만 확인하고 “최댓값은 4”라고 적었다. x=3을 대입한 값은 계산했지만, 앞에서 익숙하게 사용하던 ‘꺾이는 점이 핵심 후보’라는 규칙에 묻혀 끝점의 역할을 따로 판단하지 않은 것이다.

규칙이 멈춰야 하는 자리

오류가 시작된 곳은 계산이 아니라 후보를 정하는 순간이었다. 절댓값 그래프의 방향이 바뀌는 x=2를 찾은 것은 맞았지만, 정의역이 닫힌 구간이면 분할점과 양 끝점을 모두 비교해야 한다. 학생은 일반적인 절댓값 문제에서 자주 보던 분할점 중심의 풀이를 끝점까지 자동으로 확장하지 못했다.

풀이를 지우기보다 첫 줄 옆에 세 칸을 만들었다. 분할점 x=2, 왼쪽 끝점 x=0, 오른쪽 끝점 x=3을 적고 각각을 원래 함수에 대입했다.

• f(0)=|−2|+0=2
• f(2)=0+2=2
• f(3)=1+3=4

그제야 최솟값은 2, 최댓값은 4라는 결론이 분명해졌다. 여기서 중요한 교정은 모든 계산을 다시 하는 것이 아니었다. 일반구간의 식을 얻은 뒤에도 결론을 내리기 전에 경계 후보를 별도로 적는 한 행동이었다. 이어 정의역을 0<x≤3으로 바꾸어 x=0이 후보에서 제외되는지 확인했다. 이 반례 하나가 ‘끝점은 항상 넣는다’라는 또 다른 기계적 규칙도 막아 주었다.

조건을 한 줄 바꿔도 구조를 먼저 보기

다음에는 이전 문제의 숫자를 바꾸지 않고 질문의 조건을 바꾸었다.

함수 g(x)=|x+1|−x의 정의역이 −2≤x<1일 때 최댓값과 최솟값을 구하여라.

학생은 곧바로 계산하지 않고 먼저 절댓값 내부가 0이 되는 x=−1을 표시했다. −2≤x≤−1에서는 g(x)=−2x−1, −1≤x<1에서는 g(x)=−1이 된다. 후보를 “분할점과 정의역에 포함된 경계”로 정리한 뒤, −2와 −1만 대입하고 x=1은 제외했다.

• g(−2)=4−1=3
• g(−1)=2−1=1

따라서 최댓값은 3, 최솟값은 1이다. 특히 x=1에서 함수식의 값이 −1로 계산되더라도 정의역에 포함되지 않으므로 후보가 될 수 없다는 점을 학생이 직접 설명했다. 조건의 위치가 식 앞이 아니라 부등호에 붙어 있어도 먼저 포함 여부를 확인하는 판단이 유지된 셈이다.

해설 없이 후보를 복원한 순간

마지막 검증에서는 식을 새로 제시하지 않고, “절댓값 함수의 최솟값은 항상 절댓값 내부가 0일 때 생긴다”라는 문장을 맞는지 판단하게 했다. 학생은 정의역이 그 점을 포함하는지 먼저 물었다. 포함하지 않으면 가장 가까운 경계나 열린 끝점의 취급을 따져야 하며, 반대로 최댓값은 닫힌 구간의 양 끝점까지 대입해야 한다고 말했다.

송현고3수학과외 학습 기록에는 정답만 적지 않고 조건 확인 → 분할점 표시 → 포함된 경계 대입 → 원래 식과 대조의 순서를 남겼다. 새 문제에서도 학생은 숫자가 커지거나 식의 모양이 달라졌을 때 계산을 서두르지 않고, 먼저 결론을 바꿀 수 있는 경계와 예외를 찾았다. 송현고3수학과외에서 확인한 변화는 풀이를 외운 것이 아니라, 조건을 복원하기 전에는 뒤 계산을 고치지 않는 판단을 스스로 유지했다는 데 있었다.