대곡동 중3수학과외

대곡동 중3수학과외, 근호 정리에서 첫 판단 찾기

대곡동과외 수업에서 채점 직후 한 학생의 풀이를 뒤에서부터 확인했습니다. 대진중학교가 포함된 생활권이나 월성주공2단지와 가까운 생활권에서 공부하는 학생이라도, 근호 문제는 마지막 계산보다 첫 번째 분기에서 답이 달라질 수 있습니다. 이번 글에서는 근호를 간단히 할 때 피근수에서 완전제곱인 인수만 분리하는 과정 하나만 살펴봅니다.

답에서 거꾸로 올라간 풀이 기록

문제는 다음과 같았습니다.

√48을 가장 간단한 꼴로 나타내시오.

학생은 종이에 다음처럼 적었습니다.

√48 = √(16×3) = 4√3

이 문제는 맞게 풀었습니다. 그런데 이어진 문제에서 다음 기록이 나왔습니다.

√96 = √(6×16) = 6√16 = 24

학생은 96을 6과 16으로 나눈 뒤, 6도 근호 밖으로 꺼낼 수 있다고 생각했습니다. 그 다음에는 √16을 4로 계산하여 24를 얻었습니다. 최종 답 24가 틀렸다는 사실보다 중요한 것은, 6을 밖으로 옮긴 바로 그 순간입니다.

채점한 뒤 학생은 완성된 식의 오른쪽에서부터 왼쪽으로 읽었습니다. 24가 나오기 전 줄인 6√16을 표시하고, 그 앞의 √(6×16)을 다시 확인했습니다. 여기서 ‘피근수 안에 있는 완전제곱인 인수는 16뿐인가?’를 따져 보았습니다.

계산보다 먼저 어긋난 지점

√(6×16)에서 16은 4²이므로 √16을 근호 밖으로 옮길 수 있습니다. 반면 6은 완전제곱인 수가 아니므로 √6 전체를 근호 밖의 수처럼 옮길 수 없습니다. 따라서 최초 오류는 √16을 4로 계산한 뒤의 계산 실수가 아니라, 제곱인수가 아닌 6까지 밖으로 꺼내도 된다고 판단한 것입니다.

이 판단이 잘못되면 뒤에서 6√16을 24로 계산하는 과정은 자연스럽게 이어집니다. 그래서 완성된 풀이를 볼 때도 답부터 고치지 않고, 피근수를 어떤 인수로 나누어 보았는지 첫 분기점을 확인해야 합니다.

한 줄만 바꾸어 다시 세우기

전체 풀이를 지우고 새 방법을 여러 개 연습하지 않았습니다. 오류가 시작된 인수분해 한 줄만 고쳤습니다.

96 = 16×6 = 4²×6

그러므로

√96 = √(4²×6) = 4√6

여기서 밖으로 나온 수는 4이고, 6은 그대로 근호 안에 남습니다. 확인을 위해 4√6을 제곱하면 16×6=96이므로 원래 피근수와 일치합니다. 반대로 24를 제곱하면 576이 되어 처음 수 96과 맞지 않습니다. 이미 맞았던 ‘√16=4’ 계산은 그대로 두고, 완전제곱인 인수의 선택만 바로잡은 것입니다.

표현을 바꾼 독립 문제

다음 시간에는 풀이 중간 한 줄을 가린 문제를 제시했습니다.

3√72를 가장 간단한 꼴로 나타내시오.

이번에는 학생이 먼저 72를 36×2로 적었습니다.

3√72 = 3√(36×2) = 3×6√2 = 18√2

이번 문제는 앞에 3이 곱해져 있고, 피근수 안의 완전제곱인수도 36으로 바뀌었습니다. 학생은 ‘밖으로 옮길 수 있는 것은 36=6²뿐’이라고 말하며 2를 근호 안에 남겼습니다. 숫자만 바꾼 연습이 아니라, 근호 앞의 계수와 피근수의 분해가 함께 제시된 형태에서 같은 기준을 선택한 것입니다.

힌트 없이 확인한 마지막 풀이

마지막에는 도움 없이 다음 문제를 풀었습니다.

√200을 간단히 하고, 근호 밖으로 나온 수를 다시 제곱하여 확인하시오.

학생은 먼저 200=100×2=10²×2라고 적은 뒤,

√200 = 10√2

라고 답했습니다. 이어서 “100만 완전제곱인 인수이므로 10을 밖으로 옮겼고, 2는 완전제곱인 인수가 아니어서 남겼다”고 설명했습니다. 검산에서는 밖으로 나온 10을 다시 제곱하여 100을 만들고, 남은 2와 곱해 200을 얻었습니다.

대곡동중3수학과외에서 확인할 기준은 복잡하지 않습니다. 근호를 정리할 때마다 피근수를 먼저 인수분해하고, 그중 완전제곱인 인수만 근호 밖으로 이동하는지 살피면 됩니다. 레이크뷰행복작은도서관 인근 생활권에서 문제를 다시 풀 때도 이 한 기준을 스스로 말하고 검산까지 이어 가는지가 핵심입니다.