대곡동 중1수학과외

대곡동 중1수학과외, 최소공배수를 다시 세운 풀이

대곡동과외 수업에서 학생의 오답노트를 함께 펼쳤다. 문제는 24와 36의 최소공배수를 소인수의 곱으로 나타내는 내용이었다. 대진중학교가 포함된 생활권에서 자주 접할 수 있는 기본 유형이지만, 학생은 답만 고쳐 적은 상태라 첫 계산이 어디서 흔들렸는지 확인할 필요가 있었다.

답이 아니라 첫 줄을 따라가다

학생이 적은 풀이에는 다음과 같은 흔적이 남아 있었다.

24=2×2×2×3, 36=2×2×3×3
공통으로 있는 수를 한 번씩만 골라서 2×2×3=12

12는 두 수의 공약수일 뿐 최소공배수는 아니다. 그러나 틀린 결과보다 먼저 살펴볼 부분은 공통 인수를 고르는 순간이었다. 학생은 두 수의 소인수분해는 바르게 했지만, 최소공배수를 만들 때 각 소인수가 몇 번 필요한지 비교하지 않고 ‘공통으로 보이는 인수만 사용한다’고 판단했다. 그 순간부터 뒤의 곱셈은 맞아도 답이 달라졌다.

풀이를 지우고, 이미 맞았던 소인수분해는 그대로 두었다. 그 옆에 2와 3이 각각 몇 번씩 나타나는지 세로로 표시했다.

24	2×2×2×3
36	2×2×3×3

그다음 “두 수 모두를 나누어떨어지게 하려면 2는 어느 쪽의 개수만큼 필요할까?”라고 물었다. 학생은 24에는 2가 세 개, 36에는 두 개 있으므로 세 개가 필요하다고 답했다. 3도 같은 방식으로 살펴보니 24에는 한 개, 36에는 두 개가 있어 두 개를 선택해야 했다.

따라서 최소공배수는 2×2×2×3×3이고, 차례로 계산하면 72이다. 여기서 중요한 것은 인수를 많이 붙이는 것이 아니라, 두 수에 들어 있는 각 소인수의 개수 중 더 많은 쪽을 한 번씩 반영하는 일이었다.

곱의 형태를 바꾸어 조건을 확인하다

다음에는 같은 답을 다른 곱셈 형태로 제시했다. 72를 2×2×2×3×3으로만 보지 않고, 8×9와 4×18로도 적게 했다. 학생은 “72는 24로도 나누어지고 36으로도 나누어진다”고 직접 확인했다.

• 72÷24=3
• 72÷36=2

이번에는 질문의 모양을 바꾸었다. “24와 36의 최소공배수를 구하여라” 대신 “24의 배수와 36의 배수가 처음으로 만나는 수를 소인수의 곱으로 나타내어라”라고 제시했다. 학생은 배수를 길게 나열하지 않고, 먼저 두 수를 소인수분해한 뒤 2는 세 개, 3은 두 개를 선택했다. 12는 두 수의 배수가 아니므로 후보에서 제외하고 72를 남겼다.

오답노트에 남긴 한 줄

대곡동중1수학과외 과정에서는 오답노트에 정답만 옮기지 않고, 최초 판단을 한 문장으로 고쳐 쓰게 했다.

최소공배수는 공통으로 보이는 인수만 고르는 수가 아니라, 각 소인수가 두 수 중 더 많이 포함된 횟수만큼 들어간 곱이다.

며칠 후 별도의 힌트 없이 18과 30의 최소공배수를 물었다. 학생은 먼저 18=2×3×3, 30=2×3×5라고 적었다. 이어 2는 한 개, 3은 두 개, 5는 한 개를 선택해 2×3×3×5=90이라고 설명했다. 답을 낸 뒤에도 90÷18=5, 90÷30=3을 계산해 두 수의 공배수임을 확인했다.

마지막으로 “왜 180이 아니라 90인가?”라는 질문을 던졌다. 학생은 180도 공배수이지만 90에 이미 필요한 인수가 모두 들어 있으므로 더 작은 공배수인 90을 선택한다고 말했다. 처음 오답에서 생략했던 인수의 개수를 스스로 다시 세고, 곱을 원래 두 수와 비교하며 최소공배수의 조건을 재현한 장면이었다.