두구동 중3수학과외

두구동 중3수학과외, 부호 하나에서 시작된 전개 점검

두구동과외 수업에서 주말 복습 노트를 펼치자, 학생은 다음 식을 이미 계산해 두었습니다.

(2x-3)² = 4x²+12x+9

식의 앞항과 마지막 항은 맞았지만 가운데 항의 부호가 이상했습니다. 이번 기록에서 다룬 범위는 곱셈공식의 항별 부호 확인뿐입니다.

계산보다 먼저 적어야 했던 두 곱

학생은 주말에 일반적인 제곱식을 떠올려 (a-b)²=a²+b²처럼 앞뒤 항만 제곱했습니다. 이어서 가운데 항을 정리하면서, 괄호 안의 마이너스를 확인하지 않고 2×2×3을 양수로 적었습니다. 실제 풀이 기록은 다음과 같았습니다.

(2x-3)²
= (2x)² + 2×2x×3 + 3²
= 4x²+12x+9

여기서 계산 자체가 처음 틀린 지점은 마지막 결과가 아닙니다. 가운데 항을 만들 때 두 항의 부호를 함께 확인하지 않은 것이 최초 판단 오류입니다. 제곱식은 같은 두 괄호를 곱하는 것이므로, 가운데 항은 첫째 항과 둘째 항을 두 번 곱해 얻습니다. 둘째 항이 -3이므로 그 곱에는 마이너스가 남아야 합니다.

한 줄만 바꾸어 다시 전개하기

전체 풀이를 지우지 않고, 문제가 된 가운데 항만 직접 고쳤습니다. 항별 곱을 빠짐없이 적으면 부호가 계산에 포함됩니다.

(2x-3)²=(2x-3)(2x-3)
= (2x)(2x)+(2x)(-3)+(-3)(2x)+(-3)(-3)
= 4x²-6x-6x+9
= 4x²-12x+9

앞의 4x²와 뒤의 9는 기존 계산을 유지하고, 두 가운데 곱만 음수로 바로잡았습니다. 핵심은 ‘제곱하면 모두 양수’라고 판단하지 않는 것입니다. 제곱되는 것은 각 항의 제곱이고, 가운데 항은 서로 다른 두 항을 곱하므로 괄호 안 부호가 그대로 판단에 들어갑니다.

모양을 바꾼 식에서 기준을 옮겨 보기

다음 문제는 숫자만 바꾼 반복이 아니라, 제곱식이 아닌 두 괄호의 곱으로 제시했습니다.

(3y+2)(3y-5)를 전개하시오.

학생은 먼저 첫째 괄호의 3y가 둘째 괄호의 두 항과 각각 곱해진다는 점을 표시했습니다. 이어 둘째 항 2도 두 항과 각각 곱했습니다.

(3y+2)(3y-5)
= (3y)(3y)+(3y)(-5)+2(3y)+2(-5)
= 9y²-15y+6y-10
= 9y²-9y-10

이번에는 가운데 항이 하나의 특별한 공식에 맞는지 먼저 외우려 하지 않고, 네 번의 곱을 적은 뒤 각 곱의 부호를 확인했습니다. 특히 -15y와 +6y를 임의로 같은 부호로 바꾸지 않고, 두 항의 부호에서 나온 결과를 그대로 유지했습니다. 곱셈 순서가 바뀌어 (2+3y)(-5+3y)처럼 보이더라도, 각 항을 빠짐없이 대응시키고 부호를 항마다 확인하는 기준은 같습니다.

도움 없이 전개 전후를 대조한 기록

마지막에는 새 식을 제시하고 풀이 방법이나 부호 힌트를 주지 않았습니다.

(4t-1)(t+6)을 전개하고, t=2를 넣어 원래 식과 전개한 식의 값이 같은지 확인하시오.

학생은 먼저 네 곱을 적었습니다.

(4t)(t)+(4t)(6)+(-1)(t)+(-1)(6)
=4t²+24t-t-6
=4t²+23t-6

그다음 전개 전 식에 t=2를 대입했습니다.

(8-1)(2+6)=7×8=56

전개한 식에도 같은 값을 넣었습니다.

4×2²+23×2-6=16+46-6=56

학생은 “첫 곱은 양수, 4t와 6의 곱도 양수, -1과 t의 곱은 음수, 마지막 -1과 6의 곱도 음수”라고 설명했습니다. 계산 결과만 맞힌 것이 아니라, 식의 각 항을 곱할 때 부호를 먼저 정하고, 전개 전후에 같은 값을 넣어 전개가 유지되는지 스스로 확인한 것입니다.