두구동 고3수학과외

항번호의 경계에서 멈춰 다시 확인한 등차수열 풀이

문제는 첫째항이 4, 공차가 -3인 등차수열에서 부분합 \(S_n\)이 -100보다 작아지는 가장 작은 자연수 \(n\)을 구하는 것이었다.

학생은 곧바로 일반항을 \(a_n=4-3(n-1)=7-3n\)으로 만들고, 부분합을

\(S_n=\frac{n}{2}\{2\cdot4+(n-1)(-3)\}=\frac{n(11-3n)}2\)

이라고 정리했다. 이어 \(S_n<-100\)을 풀어 양의 해가 약 11.7보다 크다는 결론을 얻었지만, 답을 11로 적었다. 계산식 자체가 무너진 것이 아니라, 연속적인 해의 경계를 자연수 항번호에 옮기는 순간 일반적인 부등식 처리 규칙을 그대로 적용한 것이 최초의 어긋남이었다.

경계값은 식의 끝이 아니라 후보의 시작점

풀이를 거꾸로 고치지 않고 항번호부터 다시 확인했다. 부등식은

\(n(11-3n)<-200\), 즉 \(3n^2-11n-200>0\)이다. 양의 경계는 \(\frac{11+\sqrt{2521}}6\), 약 10.5이므로 자연수 조건에서는 그보다 큰 첫 항번호를 택해야 한다. 따라서 후보는 11부터가 아니라 11과 12를 직접 비교하는 방식으로 정리해야 한다.

실제로 \(S_{10}=10(11-30)/2=-95\), \(S_{11}=11(11-33)/2=-121\)이다. 그러므로 가장 작은 항번호는 11이다. 학생은 이때 ‘경계보다 큰 실수’와 ‘그 조건을 만족하는 첫 자연수’를 서로 다른 칸에 적었다. 일반 구간의 해를 구한 뒤 항번호의 정의역을 다시 대입하는 한 가지 행동으로 오류를 좁힌 것이다.

자연수 항번호 문제에서는 경계의 실수값을 답으로 옮기지 말고, 경계 양옆의 정수 후보를 원래 부분합에 넣는다.

질문의 방향을 바꿔도 같은 기준을 쓰는가

해설을 덮은 뒤, 조건을 ‘\(S_n\)이 -100 이상이 되는 가장 큰 자연수’로 바꾼 문제를 제시했다. 이번에는 부등식 방향이 반대이므로 \(3n^2-11n-200\le0\)을 만족하는 양의 자연수 중 가장 큰 값을 찾아야 한다. 학생은 경계값만 보고 결론을 정하지 않고 \(S_{10}=-95\), \(S_{11}=-121\)을 다시 계산해 가장 큰 값이 10임을 설명했다.

처음 문제와 숫자만 바꾼 것이 아니라, ‘작아지는 첫 항’에서 ‘조건을 유지하는 마지막 항’으로 질문의 방향을 바꾼 변형이었다. 학생은 먼저 항번호가 자연수라는 조건에 표시하고, 그다음 경계 앞뒤의 후보를 비교했다. 보기 없이 답과 근거를 구성했으며, 풀이에 실제로 사용한 조건만 동그라미로 남겼다. 부산고3수학과외에서 등차수열을 지도할 때도 이런 식으로 경계의 실수값과 정수 항번호를 분리해 기록하게 하면 답을 섣불리 옮기는 습관을 줄일 수 있다.

새 수열에서 남은 판단

며칠 뒤에는 첫째항 5, 공차 -2인 수열에서 \(S_n<-60\)이 되는 가장 작은 자연수 \(n\)을 보기 없이 풀게 했다. 학생은 먼저 \(a_n=7-2n\), \(S_n=\frac{n(9-2n)}2\)를 세운 뒤, \(2n^2-9n-120>0\)으로 바꾸었다. 양의 경계가 약 10.3이라는 계산 뒤 곧바로 답을 쓰지 않고 \(n=10,11\)을 후보로 적었다.

\(S_{10}=-55\), \(S_{11}=-71\)이므로 10에서는 조건이 성립하지 않고 11에서 처음 성립한다. 학생은 경계값을 직접 대입하고, 항번호가 자연수라는 조건을 마지막 결론까지 역추적했다. 다른 풀이를 요구하자 \(S_{n+1}-S_n=a_{n+1}\)을 이용해 \(S_{10}\)에서 다음 항을 더하면 \(S_{11}=-71\)이 된다는 점까지 대조했다.

두구동과외 학습 기록에는 정답만 남기지 않고 ‘경계 전후 후보 확인’과 ‘항번호의 정의역 점검’을 함께 적었다. 새로운 수열과 다른 조건에서도 같은 표시와 대입이 스스로 나온다면, 등차수열의 경계 검증이 풀이 절차로 자리 잡았다고 볼 수 있다.