두구동 중1수학과외
두구동 중1수학과외, 유리수 뺄셈의 부호를 다시 읽은 풀이
두구동과외 수업에서 학생이 표의 수치를 비교하는 문제를 풀다가 유리수의 뺄셈에서 자꾸 부호를 놓쳤다. 두구동 생활권의 e편한세상금정메종카운티와 부산광역시립서동도서관 인근에서 접할 수 있는 온도 자료를 문제 상황으로 바꾸어 살펴보았고, 부곡중학교·금양중학교 등이 포함된 생활권에서 자주 만나는 중1수학 유형과 연결해 풀이를 진행했다.
표의 숫자보다 먼저 확인해야 했던 것
문제에는 오전 온도가 -3℃, 오후 온도가 2℃라고 제시되어 있었다. “오전보다 오후에 몇 도 높아졌는가?”를 묻는 문제였다. 학생은 표에서 2와 -3을 차례로 옮겨 적고 다음처럼 계산했다.
2-(-3)=2-3=-1
그 뒤 “온도가 1℃ 내려갔다”고 답했다. 계산 줄의 마지막 부호만 고치려는 순간, 풀이가 어긋난 최초의 판단이 드러났다. 학생은 두 번째 수 앞의 괄호 속 -3을 하나의 음수로 읽지 않고, 뺄셈 기호 뒤에 있는 숫자 3으로만 보았다. 즉, 식을 쓰기 전에 ‘어떤 수를 빼는가’를 확인하지 않은 것이 문제였다.
오후 온도에서 오전 온도를 뺀다. 따라서 2에서 음수 3을 빼는 식은 2-(-3)이다.
이 한 줄을 식의 옆에 적은 뒤, 뺄셈을 덧셈으로 바꾸는 과정을 표시했다.
2-(-3)=2+3=5
수직선에서도 2를 출발점으로 잡고, 음수 3을 빼는 것은 왼쪽으로 세 칸이 아니라 반대 방향인 오른쪽으로 세 칸 이동하는 것이라고 확인했다. 도착점은 5였고, 오전 -3℃에서 오후 2℃까지의 위치 차도 다섯 칸이었다. 따라서 오후 온도는 오전보다 5℃ 높아졌다는 결론이 표의 순서와 수직선의 위치에 모두 맞았다.
경계에 있는 수에서 규칙을 멈추어 읽기
다음 자료에서는 새벽 기온이 0℃, 낮 기온이 -4℃였다. 학생은 앞의 풀이에서 사용한 “음수를 빼면 더한다”는 문장을 그대로 적용해 -4-0=-4+0=4라고 적었다. 여기서 두 번째 오류가 생겼다. 0은 음수가 아니므로 음수를 빼는 경우에 해당하지 않는데, 앞에서 본 규칙을 수의 종류를 확인하지 않고 이어 붙인 것이다.
이번에는 식을 계산하기 전에 두 수의 위치를 표시했다. 낮 기온에서 새벽 기온을 빼는 식은 다음과 같다.
-4-0=-4
0을 빼도 출발한 수의 위치가 변하지 않는다는 점을 수직선에서 확인했다. -4에서 이동하지 않으므로 결과는 -4이고, 낮 기온이 새벽보다 4℃ 낮다는 문장과도 일치했다. 학생은 “뺄셈 뒤의 수가 음수일 때만 부호를 바꾸고, 0을 빼면 원래 수 그대로”라고 식 옆에 근거를 남겼다.
표를 문장과 수직선으로 바꾸어 보기
같은 개념을 숫자만 바꾸지 않고 표현을 바꾸어 적용했다. 이번에는 표 대신 다음 문장이 주어졌다.
수심 1과 1/2m에 있던 잠수 장비가 수심 3/4m로 올라왔다. 위치의 변화를 수직선의 수로 나타내어라.
학생은 위쪽을 양의 방향으로 정하고, 처음 위치를 -1과 1/2, 나중 위치를 -3/4로 바꾸어 적었다. 나중 위치에서 처음 위치를 빼야 하므로 식은 -3/4-(-1과 1/2)가 된다. 음수를 빼는 상황임을 먼저 표시하고, -3/4+1과 1/2=3/4로 계산했다. 수직선에서는 -1과 1/2에서 -3/4까지 오른쪽으로 3/4만큼 이동하므로 결과의 부호가 양수라는 점을 확인했다.
조건의 순서를 바꾼 짧은 자료도 제시했다. “현재 위치는 -3/4m이고, 처음보다 얼마나 변했는가?”라는 질문에는 현재 위치에서 처음 위치를 빼야 한다고 스스로 식을 세웠다. 질문이 바뀌면 두 수의 순서도 달라진다는 것을 확인하기 위해, 식을 쓰기 전 ‘끝 위치-처음 위치’를 문장으로 적었다.
힌트 없이 다시 세운 풀이
수업 끝에 학생은 처음 표 문제를 보지 않고 새 자료를 독립적으로 풀었다. 시작 온도는 -2℃, 끝 온도는 3℃이고 변화량을 구하는 문제였다. 학생은 먼저 “끝 온도에서 시작 온도를 뺀다”고 적고 3-(-2)를 세웠다. 음수 2를 빼므로 더하기로 바꾸어 3+2=5를 얻었다.
이어 수직선에서 -2와 3의 위치를 직접 표시해 다섯 칸 차이를 확인했고, “끝점이 시작점보다 오른쪽에 있으므로 변화량은 양수이며, 원래 식에 5를 넣어 계산하면 3이 된다”라고 설명했다. 0이 포함된 경우에는 규칙을 무조건 바꾸지 않고, 0을 빼면 수가 그대로라는 점도 덧붙였다.
이처럼 두구동중1수학과외에서는 답만 맞히는 데 그치지 않고, 표의 수를 식으로 옮길 때 뺄셈의 순서와 음수 여부를 먼저 확인하게 한다. 학생은 부호를 계산 중에 추측하지 않고, 첫 식을 세운 근거와 수직선의 위치로 결과를 다시 검증했다.