구서동 중1수학과외

구서동 생활권에서 이어진 유리수 덧셈 풀이 기록

구서동과외 수업에서 학생은 유리수의 덧셈을 계산할 때 분모를 맞추는 과정은 알고 있었지만, 수의 부호와 결과가 놓일 위치를 함께 판단하는 데서 자주 흔들렸다.

한 줄의 계산보다 먼저 확인한 것

문제는 다음과 같았다.

−³/₄ + ⁵/₆의 값을 구하고, 결과가 양수인지 음수인지 설명하시오.

학생은 종이에 먼저 4와 6의 공통분모를 12로 적었다. 이어 −³/₄를 −⁹/₁₂로, ⁵/₆을 ¹⁰/₁₂로 바꾸었다. 여기까지는 정확했다. 그런데 다음 줄에 부호를 따로 표시하지 않고 9+10=19를 계산한 뒤, 답을 ¹⁹/₁₂라고 적었다.

풀이가 어긋난 최초의 판단은 공통분모를 정한 뒤 두 수의 부호를 확인하지 않은 것이었다. 음의 수와 양의 수를 더하는 문제에서 분자만 모두 더하면 안 된다. 학생은 계산 결과가 1보다 크다는 점도 이상하게 여기지 못했다.

부호를 남긴 채 계산 순서를 다시 세우다

이미 맞게 바꾼 분수는 그대로 두고, 분자 앞에 부호를 분명히 표시했다.

• −⁹/₁₂ + ¹⁰/₁₂
• 부호가 반대이므로 절댓값이 큰 10에서 9를 뺌
• 10−9=1, 더 큰 절댓값을 가진 수의 부호인 양의 부호를 붙임
• 결과는 ¹/₁₂

그다음 학생은 수직선을 그려 −³/₄에서 시작했다. ⁵/₆을 더한다는 것은 오른쪽으로 이동하는 것이므로, 출발점보다 오른쪽에 결과가 있어야 한다고 설명했다. 두 수를 대략 비교하면 ⁵/₆이 ³/₄보다 조금 크므로 음수에서 출발해도 0의 오른쪽에 가까운 값이 된다는 점을 확인했다. 따라서 ¹⁹/₁₂는 수직선의 위치와 맞지 않았다.

분수식이 온도 변화표로 바뀌었을 때

같은 개념을 숫자만 바꾸지 않고 표현을 바꾸어 제시했다.

아침 기온이 −³/₄℃였고, 낮 동안 ⁵/₆℃ 올라갔다. 낮 기온은 0℃보다 높은가, 낮은가?

학생은 먼저 아침 기온을 수직선의 −³/₄ 위치에 표시하고, 상승량을 오른쪽 방향의 이동으로 나타냈다. 표에는 ‘시작 −⁹/₁₂’, ‘변화 +¹⁰/₁₂’, ‘최종 ¹/₁₂’을 차례로 적었다. 이때 단순히 분수를 계산하는 데서 멈추지 않고, 최종 값이 0보다 오른쪽이므로 양수라고 문장으로 답했다.

이번에는 조건의 순서를 바꾸었다. “낮 기온이 ¹/₁₂℃이고, 아침보다 얼마나 변했는가?”라고 묻자 학생은 최종값에서 시작값을 연결해 ¹/₁₂−(−⁹/₁₂)로 적었다. 음수를 빼는 것은 양수를 더하는 것과 같으므로 ¹/₁₂+⁹/₁₂=¹⁰/₁₂=⁵/₆이라고 설명했다. 처음 문제의 변화량과 일치하는지까지 확인했다.

경계에 닿는 경우를 따로 판단하기

학생은 부호가 반대인 경우 항상 결과가 양수일 것이라고 말하려 했다. 그래서 −⁵/₈+⁵/₈을 제시하고 수직선에서 서로 반대 방향으로 같은 만큼 이동하게 했다. 두 분수의 크기가 같으면 어느 한쪽의 부호를 남기는 것이 아니라 0에 도착한다는 점을 표시했다.

이어 −⁷/₁₀+²/₅에서는 ²/₅를 ⁴/₁₀으로 바꾸고 −⁷/₁₀+⁴/₁₀=−³/₁₀으로 계산했다. 결과가 음수인 이유를 “양의 이동량이 음의 출발값을 0까지 밀어 올리기에는 부족했기 때문”이라고 풀이 옆에 적었다.

힌트 없이 다시 재현한 검증

구서동중1수학과외 과정의 끝에서 학생에게 −¹¹/₁₂+³/₄를 별도 도움 없이 풀게 했다. 학생은 먼저 ³/₄=⁹/₁₂로 고친 뒤, −¹¹/₁₂+⁹/₁₂=−²/₁₂=−¹/₆이라고 적었다. “부호가 반대이고 11이 9보다 크므로 결과는 음수이며, 수직선에서도 −¹¹/₁₂에서 오른쪽으로 ³/₄만큼 이동해도 0을 지나지 않는다”고 설명했다.

마지막으로 −¹/₆−³/₄가 아니라 원래 식이 −¹¹/₁₂+⁹/₁₂였음을 다시 대조했다. 공통분모, 부호, 수직선의 위치를 차례로 확인했기 때문에 답과 이유가 서로 맞았다.