구서동 고3수학과외

경계에서 넓이의 의미가 바뀐 삼각형 문제

구서동 생활권에서 부산과학고등학교와 동래여자고등학교 인근 학습 자료를 활용해 풀이를 점검하던 중, 한 학생이 삼각형 넓이 문제의 정답만 맞히고도 풀이의 경계를 설명하지 못하는 장면이 있었다. 부산고3수학과외 수업에서 학생이 적어 둔 식은 다음과 같았다.

“A(0,0), B(t,1), C(2,t)이므로 넓이는 (t²−2)/2이다.”

문제의 조건은 −1≤t≤3에서 삼각형의 넓이를 구하고, 넓이가 증가·감소하는 구간을 판단하라는 것이었다. 학생은 행렬식 계산 자체는 정확히 했지만, 그 값이 항상 실제 넓이와 같다고 보았다.

정답보다 먼저 확인했어야 할 경계

세 점으로 만든 평행사변형의 방향 있는 넓이는

det(B−A, C−A)=t·t−1·2=t²−2

이므로 삼각형의 실제 넓이는

S(t)=|t²−2|/2

이다. 처음 식이 어긋난 지점은 계산 마지막이 아니라, 행렬식의 부호를 확인하지 않고 곧바로 넓이로 해석한 줄이었다. 특히 t=−√2와 t=√2에서는 행렬식이 0이 되어 세 점이 한 직선 위에 놓인다. 이 두 값은 단순한 계산값이 아니라 삼각형이 납작해지는 경계다.

따라서 구간을 먼저 나누어야 한다.

• −1≤t≤−√2에서는 t²−2≥0이므로 S(t)=(t²−2)/2
• −√2≤t≤√2에서는 t²−2≤0이므로 S(t)=(2−t²)/2
• √2≤t≤3에서는 t²−2≥0이므로 S(t)=(t²−2)/2

학생은 처음부터 미분하거나 여러 값을 대입하지 않고, 식 옆에 “부호가 바뀌는 곳: t=±√2”라고 적었다. 그다음 일반 구간과 예외 구간을 분리해 필요한 부분만 다시 계산했다. 이 한 가지 행동으로 넓이의 증가·감소도 자연스럽게 달라졌다. 가운데 구간에서는 S(t)=1−t²/2이므로 t가 양수로 갈수록 감소하지만, 바깥 구간에서는 S(t)=t²/2−1이므로 양의 방향에서 증가한다.

경계조건을 바꿔도 같은 판단을 하는가

독립 적용에서는 숫자를 바꾸는 대신 질문의 방향을 바꾸었다. A(0,0), B(t,2), C(1,t)이고 −2≤t≤2일 때, 이번에는 방향 있는 넓이가 양수인 t의 범위를 찾게 했다. 행렬식은 t²−2t=t(t−2)이다.

학생은 이전 문제의 답을 떠올려 절댓값을 붙이지 않았다. “이번에는 실제 넓이가 아니라 방향 있는 값의 부호를 묻는다”고 먼저 표시한 뒤, 경계 t=0과 t=2를 수직선에 찍었다. 부호표에서 t<0에서는 양수, 0<t<2에서는 음수, t>2에서는 양수임을 확인하고 주어진 −2≤t≤2와 교집합을 취했다. 따라서 답은 −2≤t≤0 또는 t=2가 된다.

이 과정에서 직전 문제의 수치나 구간은 사용하지 않고, 새 식에서 행렬식을 다시 만든 뒤 경계를 찾았다. 또한 t=0과 t=2는 끝점 포함 여부를 별도로 확인했다. t=2에서는 행렬식이 0이므로 “양수”에는 포함되지 않지만, 질문의 조건이 “0 이상”이었다면 포함되어야 한다는 점도 구분했다.

가려진 한 줄에서 드러난 판단

마지막 검증은 식의 중간 한 줄을 가린 재구성 문제였다. 학생에게는 세 점의 좌표와 구간만 주고, 넓이식을 직접 완성하게 했다. 학생은 먼저

det((t,1),(2,t))=t²−2

를 적고, “실제 넓이인지 방향 있는 넓이인지”를 질문 문장에서 찾아 표시했다. 이어 행렬식이 0이 되는 값을 구한 뒤, 그 왼쪽과 오른쪽에서 각각 t=0, t=2를 대입해 부호를 대조했다. 계산 결과와 좌표의 위치 관계가 맞지 않으면 원래 식으로 돌아가 열의 순서를 확인하겠다는 말도 덧붙였다.

9월 모의평가 기록을 다시 확인할 때는 힌트를 주지 않았다. 학생은 사용하지 않은 조건을 따로 표시하고, 경계값을 끝점처럼 넘기지 않은 채 “행렬식의 부호와 실제 넓이의 절댓값을 먼저 구분한다”는 판단을 스스로 재현했다. 구서동과외 학습에서 확인한 변화는 공식을 더 많이 외운 것이 아니라, 결론이 달라지는 경계를 계산보다 앞에 세운 점이었다. 부산고3수학과외에서도 이처럼 답보다 먼저 구간과 부호를 확인하는 습관을 유지하면 변형 문제의 표현이 달라져도 같은 판단에 도달할 수 있다.