화정동 중등수학과외

화정동중등수학과외, 동전과 회전판 28가지 경우를 확률 조건으로 확인하기

앞면과 뒷면이 같은 확률로 나오는 동전 1개와 1부터 14까지의 수가 같은 확률로 나오는 회전판을 서로 독립으로 시행할 때, 전체 경우의 수는 28가지입니다. 이 답을 맞혔더라도 ‘2×14=28’만 적고 끝내면, 왜 각 결과를 한 가지씩 같은 비중으로 셀 수 있는지 확인하기 어렵습니다. 화정동중등수학과외에서는 정답을 다시 계산하는 데 그치지 않고, 동전의 두 면이 같은 확률이라는 조건과 두 시행이 서로 영향을 주지 않는다는 조건이 풀이에 어떻게 들어가는지 살펴봅니다.

28이라는 수가 만들어지는 순서쌍

동전 결과를 앞면 H, 뒷면 T로 쓰고 회전판 결과를 1, 2, …, 14로 쓰면 한 결과는 (H, 1), (H, 2), …, (H, 14)처럼 나타낼 수 있습니다. 앞면과 결합한 경우가 14가지이고, 뒷면과 결합한 경우도 14가지이므로 전체는 14+14=28가지, 또는 2×14=28가지입니다. 여기서 2는 단순히 동전에 글자가 두 개 있어서가 아니라 H와 T가 각각 나올 수 있는 서로 다른 결과라는 뜻입니다. 나무그림에서는 첫 갈래를 H와 T로 나누고, 각 갈래 아래에 1부터 14까지를 연결해 두 갈래마다 14개씩 표시합니다.

중요한 조건은 이 28가지가 같은 확률로 일어난다는 점입니다. 동전은 H와 T가 각각 1/2이고, 회전판의 각 숫자는 각각 1/14입니다. 또한 동전 결과가 회전판 숫자를 바꾸지 않고 회전판 숫자도 동전 결과를 바꾸지 않으므로, 예를 들어 (H, 1)의 확률은 1/2×1/14=1/28입니다. 다른 순서쌍도 같은 방식으로 1/28이 됩니다. 따라서 경우의 수 28은 단순한 곱셈 결과이면서, 이후 확률을 분수로 구할 때의 전체 칸이 됩니다.

맞힌 답에 붙여 볼 두 가지 근거

정답 근거를 확인할 때에는 정답을 가린 뒤 두 표시를 풀이 옆에 남겨 봅니다. 첫째, H와 T 옆에 각각 1/2를 적어 두 면이 같은 가능성임을 표시합니다. 둘째, 회전판의 1부터 14까지 각각에 1/14를 적고, 두 시행 사이에 ‘서로 영향 없음’이라고 연결합니다. “동전의 두 면은 같은 확률로 나오나요?”라는 질문에는 동전이 공정하다는 문제 조건 때문에 H와 T를 각각 1/2로 둔다고 답할 수 있습니다. 그림으로 설명하기 어렵다면 H와 T 아래에 같은 개수의 회전판 결과가 붙는 순서쌍 표를 써도 됩니다.

이 과정은 학생이 이유를 짧게 말했을 때 곧바로 이해 부족으로 판단하기 위한 것이 아닙니다. 말, 나무그림, 순서쌍 표, 식 가운데 어떤 방식으로든 H와 T가 같은 확률이고 각 숫자도 같은 확률이라는 관계를 드러내는지 확인합니다. 교사가 질문을 제공한 뒤의 설명과, 표시 없이 스스로 식을 세운 설명도 구분해 보아야 다음 문제에서 필요한 도움의 정도를 알 수 있습니다.

한 결과의 확률 1/28을 스스로 확인하는 방법

비교 문제인 ‘앞면과 숫자 1이 함께 나올 확률’에서는 전체 28가지 중 (H, 1) 한 가지를 찾습니다. 따라서 확률은 1/28입니다. 식으로는 P(앞면과 1)=P(앞면)×P(1)=1/2×1/14=1/28입니다. 곱셈을 쓰는 이유는 두 시행이 독립이기 때문입니다. 만약 동전 결과에 따라 회전판의 숫자 구성이 달라진다면 이 식을 바로 사용할 수 없지만, 이 문제에서는 서로 독립으로 시행한다고 주어졌습니다.

검산은 분자와 분모가 각각 무엇을 뜻하는지 되짚는 방식으로 합니다. 원하는 순서쌍은 (H, 1) 한 가지이고, 같은 확률의 전체 순서쌍은 28가지이므로 1/28은 0보다 크고 1보다 작습니다. 다음에는 답을 보지 않은 상태에서 나무그림에 (H, 1)만 표시한 뒤 1/28을 적고, 동전과 회전판이 왜 독립인지 한 문장이나 표시로 설명해 봅니다. 이 근거를 스스로 남기며 비교 문제를 풀 수 있는지 확인하는 것이 다음 학습의 기준이 됩니다.