유촌동 중3수학과외
유촌동 중3수학과외에서 살펴본 ‘식보다 먼저 조건 읽기’
유촌동과외 수업에서 단원평가 문제를 다시 보던 중, 학생의 풀이 첫 줄에 다음과 같이 적혀 있었습니다.
“연속한 두 자연수의 곱은 132이다. 두 수를 구하여라.”
x(x+1)=132, x²+x-132=0
(x+12)(x-11)=0
x=12 또는 x=-11
전개와 인수분해 계산은 정확했습니다. 그런데 학생은 마지막에 “두 답 모두 가능하므로 12와 -11”이라고 결론을 내렸습니다. 유덕중학교가 포함된 생활권에서 중3수학을 지도할 때 자주 확인하는 지점도 바로 이처럼 문장의 조건을 식에 반영한 뒤, 계산 결과를 조건으로 다시 선별하는 과정입니다. 금호동종원팰리스빌과 금호빛여울채가 있는 생활권에서 학습하더라도, 문제의 첫 판단은 숫자 계산보다 문장 확인에서 시작해야 합니다.
첫 계산 전에 빠진 한 줄
학생은 ‘연속한 두 수’만 식으로 옮겼지만, ‘자연수’라는 조건에는 표시하지 않았습니다. 따라서 x와 x+1을 세운 것까지는 맞았으나, 해를 얻은 즉시 두 값을 답으로 인정한 것이 최초의 어긋난 판단이었습니다. x=-11이면 이어지는 수는 -10이고, 두 수의 곱은 110이므로 원래 식에도 맞지 않습니다. 반면 x=12이면 12와 13의 곱이 156이어서, 여기서 계산 결과를 다시 점검해야 합니다.
실제로 인수분해를 다시 확인하면
x²+x-132=(x+12)(x-11)
이므로 해는 x=-12 또는 x=11입니다. 학생은 인수분해 결과를 옮기는 과정에서 -12를 -11로 잘못 읽었습니다. 다만 이 계산 실수보다 먼저 고칠 지점은, 해를 결정하기 전에 문제의 조건을 한 줄로 선별하지 않은 행동입니다.
조건을 먼저 적고, 맞았던 식은 그대로 두기
교정에서는 풀이 전체를 새로 쓰지 않고 첫 줄만 바꾸었습니다. 학생은 다음 문장을 계산 전에 적었습니다.
x는 자연수이고, x+1도 자연수인 연속한 두 수이다.
그다음 기존의 식 x(x+1)=132를 유지하고 정리했습니다.
- x²+x-132=0
- (x+12)(x-11)=0
- x=-12 또는 x=11
이제 조건을 대입해 보면 x=-12는 자연수가 아니므로 제외하고, x=11을 선택합니다. 연속한 두 수는 11, 12이며 곱은 132입니다. 교정의 핵심은 여러 풀이법을 추가한 것이 아니라, 계산 전에 원문 조건을 적고 계산 뒤 그 조건으로 해를 걸러낸 것 하나였습니다.
표현을 바꾼 새 문제에서 기준 선택하기
며칠 뒤에는 숫자만 바꾼 문제가 아닌 다른 형태를 제시했습니다.
연속한 세 자연수 중 가장 작은 수를 n이라 하자. 가운데 수와 가장 큰 수의 곱이 210일 때, 세 수를 구하여라.
이번에는 ‘연속한 세 수’라는 표현을 보고 무조건 n(n+1)=210으로 쓰지 않아야 합니다. 학생은 질문의 방향과 곱에 포함된 수를 먼저 표시했습니다.
세 수: n, n+1, n+2
곱에 사용되는 수: 가운데 수와 가장 큰 수
따라서 식은 (n+1)(n+2)=210이고, 전개하면 n²+3n+2=210, 즉 n²+3n-208=0입니다. 인수분해하면
(n+16)(n-13)=0
이므로 n=-16 또는 n=13입니다. 학생은 처음 문제와 달리 ‘가장 작은 수가 자연수’라는 조건을 확인하여 n=13을 선택했습니다. 세 수는 13, 14, 15이고, 문제에서 요구한 가운데 수와 가장 큰 수의 곱은 14×15=210입니다. 식의 모양과 질문 방향은 달라졌지만, 조건을 먼저 선별하여 이차방정식을 세운다는 같은 기준을 적용했습니다.
힌트 없이 남긴 마지막 풀이 기록
마지막에는 다음 문제를 별도의 표시 없이 풀게 했습니다.
어떤 양의 정수와 그보다 5 큰 수의 곱이 84이다. 두 수를 구하여라.
학생은 먼저 “작은 수를 x라 하면 x는 양의 정수, 다른 수는 x+5”라고 적었습니다. 이어 x(x+5)=84, x²+5x-84=0, (x+12)(x-7)=0을 차례로 작성했습니다. 해는 x=-12, 7이지만, 양의 정수라는 조건에 따라 x=7만 남겼습니다. 따라서 두 수는 7과 12입니다.
검산도 힌트 없이 진행했습니다. 7×12=84이고 12-7=5이므로 곱과 두 수의 관계가 모두 원문과 일치합니다. 유촌동중3수학과외에서 확인하고 싶은 변화는 정답 숫자 자체가 아니라, 계산을 시작하기 전에 조건을 식으로 옮기고 마지막에 그 조건으로 해를 선택하는 풀이 습관입니다.