유촌동 고1수학과외
유촌동 고1수학과외, 행렬의 곱셈 순서를 먼저 확인한 사례
유촌동에서 고1 수학을 공부하던 학생은 행렬의 각 성분을 대응해서 곱한 뒤 바로 다음 줄로 넘어갔다. 계산 자체는 빠르게 진행됐지만, 두 행렬의 곱에서는 교환법칙이 성립하지 않을 수 있다는 점을 놓친 것이 출발점이었다.
성분 계산보다 먼저 확인한 곱의 구조
교사는 계산을 멈추고 왼쪽 행렬의 열 수와 오른쪽 행렬의 행 수를 비교하게 했다. 이어서 곱셈 순서를 바꾸었을 때 같은 크기의 행렬이 만들어지는지도 따로 살폈다. 이 과정을 통해 학생은 숫자를 곱하는 방법보다 먼저 행과 열의 대응을 확인해야 한다는 기준을 세웠다.
행렬의 곱에서는 계산 순서와 성분의 대응 위치를 바꾸지 않는다.
이후 학생은 두 행렬을 곱할 때 각 결과 성분이 왼쪽 행렬의 한 행과 오른쪽 행렬의 한 열의 내적으로 정해진다는 점을 식 옆에 표시했다. 단순히 성분끼리 곱하는 방식과 구별되면서, 처음 답에서 범위가 지나치게 넓어진 이유도 확인할 수 있었다.
행렬의 크기를 바꾼 적용
새 문제에서는 2×3 행렬과 3×2 행렬을 제시하고 곱셈이 가능한 방향을 먼저 판단하게 했다. 학생은 결과가 2×2 행렬이 된다는 것을 정한 뒤 각 성분을 행과 열의 대응에 따라 계산했다. 반대로 3×2 행렬과 2×3 행렬을 곱하면 3×3 행렬이 된다는 점도 비교하며, 같은 두 행렬이라도 순서를 바꾸면 결과의 크기와 값이 달라질 수 있음을 확인했다.
처음 보는 식에서의 최종 확인
마지막에는 행렬의 곱을 구하는 대신, 결과 행렬의 크기만 보고 가능한 곱셈 순서를 찾아야 하는 문제를 풀었다. 학생은 결과의 행 수는 왼쪽 행렬에서, 열 수는 오른쪽 행렬에서 온다는 관계를 이용해 순서를 역으로 판단했다. 계산을 생략한 상황에서도 행·열의 연결이 맞는지 확인하면서, 교환법칙을 적용해도 된다는 착각을 스스로 걸러냈다.