유촌동 고3수학과외

속도식보다 먼저 확인한 이동 구간

유촌동 생활권에서 수능 수학을 준비하던 학생의 풀이 노트에는 다음과 같은 첫 줄이 적혀 있었다.

“이동거리 = 속도를 적분한 값이므로 바로 적분한다.”

문제는 속도 함수가 v(t)=t²-4t+3이고, 시간 범위가 0≤t≤3일 때 자동차가 이동한 거리를 구하는 것이었다. 학생은 곧바로 ∫₀³v(t)dt를 계산해 -3을 얻었다. 값이 음수라는 점은 이상했지만, 식을 세운 뒤에는 계산만 고치려 했다.

답이 아니라 첫 식의 조건을 되짚다

오류는 적분 계산이 아니라 ‘속도’를 부호 있는 변화량처럼 사용한 데서 시작됐다. 속도 함수의 영점은

v(t)=(t-1)(t-3)

이므로 주어진 구간에서 t=1을 기준으로 부호가 바뀐다. 0≤t≤1에서는 v(t)≥0이고, 1≤t≤3에서는 v(t)≤0이다. 따라서 전체 적분은 이동거리가 아니라 위치의 순변화량이다.

학생은 풀이를 전부 지우지 않고 첫 줄 옆에 ‘거리면 부호를 확인하고 구간을 나눈다’고 적었다. 이어 영점 1을 경계로 표시한 뒤

∫₀¹v(t)dt - ∫₁³v(t)dt

로 다시 세웠다. 실제 계산은 ∫v(t)dt=t³/3-2t²+3t이고, 첫 적분은 4/3, 둘째 적분은 -16/3이므로 이동거리는 4/3+16/3=20/3이다. 처음 얻은 -3은 거리의 값으로 허용될 수 없으며, 부호가 바뀌는 구간을 합치면서 생긴 결과였다.

표로 제시된 조건에서도 같은 경계를 찾는가

다음 날에는 식을 먼저 주지 않고, 시간별 속도의 변화가 표로 제시된 문항을 건넸다. 구간은 0≤t≤4였고, 속도는 t=0부터 t=2까지 양수, t=2부터 t=4까지 음수라고 주어졌다. 학생은 예전처럼 표의 수치를 한꺼번에 적분하지 않았다. 먼저 ‘순변화량’과 ‘이동거리’를 나란히 적은 뒤, t=2에서 구간을 나누었다.

특히 정적분값이 음수인 두 번째 구간을 그대로 거리로 쓰지 않고 절댓값으로 바꾸었다. 표에 제시된 값만으로 계산할 때도 면적의 부호와 실제 이동한 길이를 분리한 것이다. 마지막에는 “처음 위치로 돌아오는 정도와 실제 이동거리는 다르다”고 조건을 다시 읽었다. 이는 단순히 숫자를 바꾼 반복이 아니라, 식 대신 표가 주어져도 속도 부호와 구간 경계를 먼저 선별하는 적용이었다.

매개변수가 들어온 변형에서 남은 판단

독립 문제에서는 속도가 v(t)=t²-2at+a²-1이고 시간 조건이 0≤t≤a+1, a>1로 제시되었다. 이번에는 조건의 순서가 뒤섞여 있었고, 이동거리와 위치 변화량 중 무엇을 구하는지도 문장 뒤쪽에 놓였다.

학생은 먼저 a>1을 적고, v(t)=(t-a+1)(t-a-1)로 인수분해했다. 두 영점 중 t=a-1은 주어진 구간 안에 있고 t=a+1은 끝점임을 확인한 뒤, 구간을 [0,a-1]과 [a-1,a+1]로 나누었다. 끝점에서 속도가 0이라는 사실도 별도 표시했다. 계산을 마친 뒤에는 각 후보를 원래 속도식에 대입해 부호표와 일치하는지 대조했다.

힌트 없이 풀이를 마친 후 학생에게 오류가 처음 시작된 줄을 묻자, “적분을 시작하기 전에 거리인지, 순변화량인지 확인하지 않고 전체 구간을 하나로 잡은 줄”이라고 짚었다. 유촌동과외 학습에서 기록한 교정표시도 그대로 남아 있었다. 조건을 찾고, 영점으로 구간을 나누고, 마지막에 원래 식의 부호를 확인하는 순서가 숫자와 표현이 달라져도 유지된 것이다.