유촌동 고등수학과외
유촌동에서 고등수학과외를 찾는 학생들이 자주 만나는 단원 중 하나가 삼각함수의 라디안 표현이다. 전남고등학교, 상일여자고등학교 주변에서 공부하는 학생도 각도 단위만 바꾸는 문제라고 생각하지만, 실제 풀이에서는 각의 크기와 사분면 조건을 함께 읽어야 답의 방향이 달라진다. 이야기꽃도서관이나 다솜울작은도서관에서 문제를 정리할 때도 도 단위와 라디안 단위를 한 줄에 섞어 쓰지 않는 습관이 필요하다.
sinθ=1/17에서 먼저 멈춰야 하는 지점
학생에게 135°를 라디안으로 나타내고, sinθ=1/17이라는 조건까지 연결해 보라고 했다. 학생은 곧바로 180°=π를 떠올려 135°를 3π/4로 바꿨다. 여기까지는 맞았다. 그런데 다음 줄에서 “sinθ가 양수이므로 θ는 135°와 연결된다”고 적고, 주어진 값을 그대로 이용해 1/17이라고 결론을 내렸다.
첫 오류는 계산 과정이 아니라 각의 조건을 빠뜨린 순간에 생겼다. 135°의 사인은 sin135°=√2/2이지 1/17이 아니다. 반대로 sinθ=1/17만 주어진다면 θ의 정확한 크기는 하나로 정해지지 않는다. 0°부터 360°까지라면 θ=arcsin(1/17) 또는 180°−arcsin(1/17)이고, 이를 라디안으로 바꾸려면 각의 범위와 사분면을 함께 확인해야 한다.
각의 단위 변환은 값의 변환이고, 사인 조건은 각의 위치를 판단하는 정보다. 두 정보를 같은 것으로 취급하면 안 된다.
135°와 225°를 따로 표시하기
교정할 때는 원 위에 기준선을 그리고 0°, 90°, 180°, 270°, 360°를 먼저 표시했다. 180°가 π이므로 90°는 π/2, 135°는 3π/4가 된다. 이어서 225°를 변환하게 하자. 225°=180°+45°이므로 라디안으로는 π+π/4=5π/4이다. 135°는 제2사분면, 225°는 제3사분면에 놓인다.
두 각 모두 사인의 부호만 보면 135°의 사인은 양수이고 225°의 사인은 음수다. 따라서 “사인이 양수”라는 정보만으로 135°를 특정할 수는 있지만, sinθ=1/17이라는 수치와 135°를 동시에 만족한다고 말할 수는 없다. 학생은 이 차이를 표에 정리했다.
- 135° = 3π/4, sin135° = √2/2
- 225° = 5π/4, sin225° = −√2/2
- sinθ = 1/17이면 θ의 범위 또는 사분면 조건을 추가로 확인
조건을 바꾼 새 문제에서 혼자 적용하기
다음에는 각을 직접 주지 않고 “θ는 제2사분면에 있고 sinθ=1/17”이라고 제시했다. 학생은 먼저 기준각을 α라 두고 sinα=1/17이라 썼다. 제2사분면이므로 θ=π−α라고 정리한 뒤, α를 도 단위로 구했다면 마지막에 π/180을 곱해야 한다고 설명했다. 이번에는 135°를 억지로 끌어오지 않고, 새 조건에 맞는 각의 표현을 처음부터 구성했다.
조건을 “θ는 제3사분면이고 sinθ=−1/17”로 바꾸자 기준각은 같지만 θ=π+α가 된다는 점도 스스로 적었다. 수치가 같아도 사분면이 달라지면 라디안 표현의 연결식이 달라진다는 사실을 확인한 장면이다.
마지막에는 원래 조건으로 되돌려 검산하기
검산에서는 계산을 반복하지 않고 원래 각을 다시 대입했다. 3π/4에 180/π를 곱하면 135°가 되고, sin(3π/4)=√2/2이므로 sinθ=1/17과 일치하지 않는다. 5π/4도 같은 방식으로 225°임을 확인할 수 있지만 사인값은 −√2/2이다. 이렇게 원식에 대입하면 라디안 변환 자체가 틀린 것인지, 애초에 서로 맞지 않는 조건을 연결한 것인지 구별된다.
자주 묻는 질문
라디안은 왜 사용하는가?
호의 길이와 반지름의 비로 각을 나타내므로 삼각함수와 미적분의 식을 일정하게 다루기 쉽다.
180°는 항상 π인가?
도 단위를 라디안으로 바꿀 때 180°=π로 대응한다. 따라서 x°는 xπ/180 라디안이다.
sinθ=1/17이면 θ를 바로 구할 수 있는가?
범위와 사분면이 없으면 여러 각이 가능하다. 주어진 조건을 먼저 읽어야 한다.
135°의 사인은 1/17이 될 수 있는가?
될 수 없다. sin135°=√2/2이므로 두 조건은 서로 일치하지 않는다.
변환 뒤 무엇을 확인해야 하는가?
라디안을 다시 도 단위로 되돌리고, 해당 각의 사인 부호와 실제 값을 원조건에 대입한다.