유촌동 중2수학과외
가감법에서 계산보다 먼저 정할 것
유촌동과외 수업에서 학생의 연립일차방정식 풀이를 거꾸로 확인했다. 답은 맞지 않았지만, 마지막 계산 자체보다 두 식을 어떻게 처리할지 정한 순간부터 추적하니 오류가 선명하게 보였다. 유덕중학교가 포함된 생활권의 문제집에서 나온 다음 문제였다.
연필 3자루와 공책 2권의 가격은 4600원이고, 연필 2자루와 공책 3권의 가격은 5400원이다. 연필 한 자루와 공책 한 권의 가격을 구하여라.
학생은 연필 가격을 x원, 공책 가격을 y원으로 두고 다음처럼 적었다.
3x+2y=4600
2x+3y=5400
두 식의 x계수를 없애려는 의도는 분명했다. 첫 번째 식에 2를 곱하고 두 번째 식에 3을 곱한 뒤, 종이에 바로 계산을 이어 갔다. 그런데 두 번째 식에서 3을 곱한 식을 빼면서 −3y를 쓰지 않고 +3y로 옮겨 적었다. 그 결과 5y가 나왔고, 학생은 그 값으로 x까지 계산했다. 두 원래 식에 대입해 보니 한 식에서는 4600원이 맞지 않았지만, 답을 고치는 대신 계산 줄만 다시 살폈다.
오류가 시작된 한 줄
핵심은 뺄셈 계산을 틀렸다는 결과가 아니었다. 계산을 시작하기 전에 각 식의 항 부호를 표시하지 않은 판단이 최초의 어긋남이었다. 학생은 두 식의 x계수가 같아진 것만 보고 곧바로 숫자를 계산했으며, 뒤에서 뺄 식의 모든 항의 부호가 함께 바뀐다는 기준을 세우지 않았다.
수업에서는 이미 맞게 세운 미지수와 두 방정식은 그대로 두고, 한 가지 행동만 바꾸었다. 학생이 식을 정리한 뒤 가감 기호를 크게 표시하게 했다.
첫째 식에 2를 곱하면 6x+4y=9200, 둘째 식에 3을 곱하면 6x+9y=16200이다. 이제 아래처럼 두 식을 세로로 맞췄다.
6x + 4y = 9200
−(6x + 9y = 16200)
괄호 앞의 마이너스가 둘째 식 전체에 적용된다는 점을 확인한 뒤, 6x−6x=0, 4y−9y=−5y, 9200−16200=−7000으로 계산했다. 따라서 −5y=−7000, y=1400이다. 첫째 식에 넣으면 3x+2800=4600이므로 x=600이다. 학생은 마지막에 “음수 부호를 먼저 표시했기 때문에 −5y와 −7000이 함께 생겼고, 두 음수를 나누어 y가 양수가 된다”고 말로 설명했다.
표에서 식으로 바꾸어도 같은 기준인가
단순히 숫자를 바꾸는 대신, 문제의 모양을 바꾸어 같은 판단을 확인했다. 이번에는 가격표와 문장이 함께 제시되었다.
| 묶음 | 빵 | 우유 | 합계 |
| A | 2개 | 3개 | 5100원 |
| B | 4개 | 1개 | 5700원 |
학생은 표의 행을 그대로 읽어 2x+3y=5100, 4x+y=5700으로 옮겼다. 이번 질문은 가격을 구하는 것이 아니라 “빵 두 개와 우유 세 개의 가격 합계가 맞는지, 구한 x와 y를 이용해 확인하라”였다. 학생은 먼저 x계수를 맞추기 위해 첫째 식에 2를 곱한 뒤 둘째 식을 그대로 빼는 방법을 선택했다.
4x+6y=10200에서 4x+y=5700을 빼며 −(4x+y)를 표시했고, 5y=4500, y=900을 얻었다. 이어 4x+900=5700에서 x=1200을 구했다. 표의 첫째 행에 다시 넣어 2×1200+3×900=5100이라고 확인했다. 식에서 표로, 표에서 질문으로 형태가 달라졌지만, 없앨 항의 부호를 먼저 정하는 판단은 유지되었다.
도움 없이 다시 세운 기준
수업 후 제시한 새 문제에서 학생에게 풀이 방법을 지정하지 않았다.
두 종류의 입장권을 합쳐 7장을 사면 31000원이고, 어른 표 3장과 어린이 표 5장을 사면 29000원이다. 어른 표와 어린이 표의 가격을 각각 구하여라.
학생은 “어른 표를 x원, 어린이 표를 y원으로 두고, 7장 조건은 x와 y의 계수 합이 7이 되도록 x+y의 식으로 쓰지 않고, 문장 그대로 7장 구성을 확인해야 한다”고 설명했다. 곧바로 두 식을 4x+3y=31000, 3x+5y=29000으로 세웠고, x계수를 맞추기 위해 첫째 식에 3, 둘째 식에 4를 곱했다.
12x+9y=93000
−(12x+20y=116000)
학생은 괄호 앞 부호를 확인하며 −11y=−23000, y=2000을 얻고, 원래 첫 식에 대입해 4x+6000=31000, x=6250이라고 계산했다. 마지막에는 두 원래 식을 모두 검산했다. 4×6250+3×2000=31000, 3×6250+5×2000=28750이 되어 두 번째 식이 맞지 않자, 계산을 숨기지 않고 3×6250이 18750임을 다시 확인해 “문장 조건을 식으로 옮길 때 둘째 식의 어른 표 계수나 합계가 잘못 기록됐다”고 판단했다. 도움 없이 부호뿐 아니라 두 원래 조건과 단위를 대조한 장면이었다.
금호동종원팰리스빌과 이야기꽃도서관 인근 생활권에서 진행한 유촌동중2수학과외 수업에서도 이처럼 답보다 먼저 식의 구조와 부호를 확인하면, 가감법의 계산 과정을 스스로 점검할 수 있다.