금호지구 중2수학과외

금호지구 중2수학과외에서 살펴본 연립방정식의 부호 판단

핵심은 가감법으로 한 미지수를 없앨 때 음수 부호를 끝까지 유지하는 것이었다.

첫 줄에서 달라진 부호

학생은 두 상품의 개수를 각각 x, y로 표시하고, 문제의 조건을 다음과 같이 옮겼다.

x + y = 13
3x - 2y = 4

첫 번째 식에 2를 곱해 y의 계수를 맞추려던 학생은 두 식을 아래처럼 적었다.

2x + 2y = 26
3x - 2y = 4

여기까지는 정확했다. 학생은 y와 -2y에 동그라미를 치고 소거하려 했지만, 실제 계산에서는 두 식을 더하지 않고 첫 번째 식에서 두 번째 식을 빼는 방식으로 바꾸었다. 그러면서 두 번째 식 전체의 괄호를 쓰지 않은 채 2x+2y-3x-2y를 2x+2y-3x+2y처럼 계산했다. 결과가 틀어진 최초의 판단은 y의 계수가 아니라, 식 전체를 뺄 때 뒤 식의 부호가 모두 바뀐다는 점을 적용하지 않은 것이었다.

이미 맞은 과정은 두고, 뺄셈만 고치기

학생이 세운 미지수의 뜻과 첫 번째 식은 그대로 유지했다. 교사는 계산 방법을 새로 여러 개 제시하지 않고, 학생이 선택한 뺄셈을 괄호로 다시 쓰게 했다.

(2x + 2y) - (3x - 2y) = 26 - 4

괄호 앞의 마이너스가 두 항에 함께 작용하므로 왼쪽은 2x+2y-3x+2y가 된다. 따라서 -x+4y=22를 얻지만, 이 식만으로는 두 미지수를 바로 정할 수 없다. 학생은 자신이 원래 의도한 가감법이 ‘더해서 y를 없애는 방식’이었다는 점을 다시 확인했다.

2x + 2y = 26
3x - 2y = 4
----------------
5x = 30

두 식을 더하면 2y+(-2y)=0이므로 x=6이다. 첫 번째 식에 대입하여 6+y=13, 따라서 y=7을 구했다. 학생은 마지막에 두 원래 식에 각각 대입했다. 6+7=13, 3×6-2×7=4가 모두 성립해, 단순히 계산 결과만 확인하지 않고 원래 조건과 맞는지 검산했다.

식의 배열을 바꾸어 같은 부호 관계 확인하기

다음 문제는 식이 바로 제시되지 않고, 두 종류의 묶음에 대한 문장과 표로 주어졌다. 한 묶음에는 연필 2자루와 공책 1권, 다른 묶음에는 연필 1자루와 공책 2권이 들어 있으며, 가격 차가 1,000원이라는 조건이었다. 학생은 연필 가격을 x, 공책 가격을 y로 정하고 표의 차이 조건을 다음처럼 옮겼다.

2x + y = 5000
x + 2y = 6000

이번에는 두 식의 위치가 바뀌어도 특정 문자를 없애기 위해 어느 식에 무엇을 곱할지 먼저 표시했다. 학생은 첫 식에 2를 곱한 뒤 두 번째 식을 빼는 방법을 택했다.

4x + 2y = 10000
-(x + 2y = 6000)

이때도 괄호를 유지하여 4x+2y-x-2y=10000-6000으로 계산했고, 3x=4000을 얻었다. 이어서 첫 식에 대입해 y를 구했다. 숫자만 바꾼 문제가 아니라, 문장과 표를 식으로 옮긴 뒤 식의 순서와 소거 방향을 스스로 선택한 장면이었다.

힌트 없이 다시 세운 판단

수업 후반에는 다음과 같은 새로운 조건이 제시되었다.

두 수의 합은 9이고, 첫 번째 수의 2배에서 두 번째 수의 3배를 뺀 값은 -4이다.

학생은 도움을 기다리지 않고 첫 번째 수를 x, 두 번째 수를 y로 정한 뒤 x+y=9, 2x-3y=-4를 적었다. y를 없애려면 첫 식에 3을 곱하고 두 번째 식에 1을 곱한 뒤 더해야 한다고 설명했다.

3x + 3y = 27
2x - 3y = -4
----------------
5x = 23

학생은 음수인 -3y와 양수인 +3y가 서로 없어지는 이유를 말로 설명하고, x=23/5를 첫 번째 식에 넣어 y를 구했다. 이어 두 값을 두 원래 식에 각각 대입해 합과 차 조건을 다시 계산했다. 표현이 문장으로 바뀌고 계수와 부호가 달라졌어도, 미지수의 뜻을 먼저 정하고 소거할 항을 맞춘 뒤 원래 두 식으로 검산하는 판단을 혼자 재현했다.