금호지구 중1수학과외

금호지구 중1 수학, 소수 일차방정식의 표현을 바꾸는 연습

금호동종원팰리스빌과 금호빛여울채가 있는 생활권에서 중1 수학 과외를 진행하며, 단원평가를 앞둔 학생의 풀이를 살펴보았다.

한 줄의 모양이 바뀌면서 시작된 혼란

학생은 다음 식을 보고 공책에 바로 계산을 적었다.

0.4x + 1.2 = 2.8

학생은 0.4를 4로, 1.2를 12로, 2.8을 28로 바꾸면서도 식 전체에 같은 수를 곱했다는 표시를 하지 않았다. 이어서 4x + 12 = 28이라고 쓴 뒤, “소수점을 없앴으니 원래 식과 같은 식”이라고 설명했다. 계산 결과는 x=4였지만, 원래 식에 대입하면 0.4×4+1.2=2.8이므로 우연히 맞아 보이는 상황이었다. 식을 바꾼 근거와 각 항의 대응을 설명하지 못한 것이 문제의 출발점이었다.

오류는 뺄셈이나 나눗셈에서 생긴 것이 아니라, 소수점을 없애는 순간 일부 항만 모양을 바꾼 데 있었다. 학생은 이전에 보았던 정수식의 모양을 그대로 복사하면서, 등식의 양변과 모든 항에 같은 연산을 해야 한다는 조건을 놓쳤다.

소수식을 정수식으로 바꾸는 한 가지 기준

먼저 소수 자릿수를 세었다. 0.4, 1.2, 2.8 모두 소수 첫째 자리까지 있으므로 식 전체에 10을 곱한다고 적었다.

• 10×(0.4x+1.2)=10×2.8
• 4x+12=28
• 4x=16
• x=4

이번에는 0.4가 4가 된 이유, 1.2가 12가 된 이유, 2.8이 28이 된 이유를 각각 말하게 했다. 학생은 “모든 항에 10을 곱했기 때문에 소수점이 한 칸씩 오른쪽으로 이동했다”고 정리했다. 이미 맞게 계산한 4x+12=28 이후의 과정은 유지하고, 처음 식을 정수식으로 바꾸는 부분만 바로잡았다.

다음 문제에서는 수가 다른 곱셈 형태로 제시되었다.

0.6x + 0.3 = 1.5,  0.6=6×0.1,  0.3=3×0.1,  1.5=15×0.1

학생은 이 표현을 보고 숫자를 따로 외우려 하지 않고, 각 수에 공통으로 들어 있는 0.1을 확인했다. 식 전체를 10배 하면 6x+3=15가 된다는 것을 인수처럼 묶여 있는 0.1의 역할과 연결해 설명했다. 숫자를 곱셈 형태로 바꾸어 보니, 왜 같은 수를 곱해야 하는지도 식의 구조 안에서 확인할 수 있었다.

계산식이 아닌 문장으로 바꾸어 다시 적용하기

표현을 바꾸는 연습이 숫자만 달라지는 반복이 되지 않도록, 이번에는 문장으로 문제를 제시했다.

어떤 수의 0.7배에 1.4를 더하면 3.5가 된다. 어떤 수를 구하여라.

학생은 먼저 어떤 수를 x로 두고 0.7x+1.4=3.5라고 적었다. 그다음 소수 첫째 자리까지 있으므로 양변과 식의 모든 항에 10을 곱해 7x+14=35로 바꾸었다. 7x=21, x=3으로 계산한 뒤, “0.7배는 0.7과 x를 곱한 것이므로 0.7x로 나타냈고, 정수식으로 바꿀 때는 식 전체를 10배 했다”고 풀이 이유를 덧붙였다.

이번에는 답의 범위도 먼저 살폈다. 0.7x에 1.4를 더해 3.5가 되려면 x는 양수이고 3보다 조금 크거나 작을 수 있다고 예상했으며, 실제 계산 결과 3이 그 범위에 들어오는지 확인했다. 불필요한 후보를 적어 놓고 무작정 대입하지 않고, 식의 크기를 이용해 가능한 값을 좁힌 점이 달라졌다.

힌트 없이 원래 조건으로 되돌아간 검산

단원평가 직전에는 다음 문제를 별도 도움 없이 풀게 했다.

0.25x+0.5=2일 때 x의 값을 구하고, 풀이 과정을 설명하여라.

학생은 소수 둘째 자리까지 있으므로 식 전체에 100을 곱한다고 먼저 적었다.

• 100×(0.25x+0.5)=100×2
• 25x+50=200
• 25x=150
• x=6

이후 0.25×6+0.5=1.5+0.5=2라고 원래 식에 대입해 검산했다. “처음부터 0.25를 25로만 바꾼 것이 아니라, 모든 항에 100을 곱해 같은 등식을 만들었다. 마지막에는 구한 값을 원래 소수식에 넣어 조건을 만족하는지 확인했다”고 스스로 설명했다.

주말 누적 복습에서도 학생은 소수식을 먼저 읽고, 가장 많은 소수 자릿수에 맞춰 식 전체에 곱할 수를 정한 뒤 정수식으로 전환했다.