금호지구 고2수학과외







정규분포 그래프가 옆으로 움직이는 이유
정규분포 문제에서 평균이 바뀌었는데 곡선의 높이와 폭까지 달라졌다고 판단하는 경우가 있습니다. 그러나 표준편차가 고정되어 있다면 평균 변화는 그래프의 수평이동으로 해석해야 합니다. 금호지구과외 수업에서는 먼저 μ와 σ의 역할을 분리해 오답의 원인을 찾았습니다.
학생 풀이 기록에서 찾은 오류
학생은 다음 두 정규분포를 비교했습니다.
\(X\sim N(60,10^2)\), \(Y\sim N(70,10^2)\)
두 분포의 표준편차가 모두 10이므로 퍼짐 정도는 같습니다. 하지만 학생은 평균이 60에서 70으로 증가하면서 그래프가 더 넓고 낮아진다고 표시했습니다.
μ와 σ의 역할 구분
- \(\mu\): 정규분포의 중심, 즉 대칭축의 위치
- \(\sigma\): 자료의 퍼짐 정도
따라서 \(N(60,10^2)\)의 대칭축은 \(x=60\), \(N(70,10^2)\)의 대칭축은 \(x=70\)입니다. 표준편차가 같으므로 두 곡선의 모양과 최고 높이는 같고, 두 번째 곡선이 오른쪽으로 10만큼 이동합니다.
같은 z위치 비교
첫 번째 분포에서 \(x=70\)은
\[ z=\frac{70-60}{10}=1 \]
두 번째 분포에서 같은 표준화 위치 \(z=1\)에 해당하는 값은
\[ x=70+1\cdot10=80 \]
즉, 각 분포에서 평균보다 표준편차 1개만큼 오른쪽에 있는 위치를 비교하면 \(70\)과 \(80\)이 대응합니다. 평균이 10 증가했으므로 대응하는 실제 관측값도 10 증가한 것입니다.
최종 검증
일반적으로 \(X\sim N(\mu,\sigma^2)\)에서 평균만 \(\mu\)에서 \(\mu+a\)로 바뀌고 \(\sigma\)가 그대로라면 곡선은 오른쪽으로 \(a\)만큼 이동합니다. 평균이 감소하면 왼쪽으로 이동합니다.
따라서 이 문제의 정답은 “표준편차가 고정된 상태에서 평균이 증가했으므로 정규분포 그래프가 오른쪽으로 평행이동한다”입니다. 그래프의 폭이나 퍼짐이 변한다고 판단하면 안 됩니다.