금호지구 중3수학과외

금호지구 생활권에서 살펴본 연속한 수의 식 세우기

연속한 수의 관계를 이차방정식으로 표현할 때 원문의 관계와 부호를 정확히 옮기는 것입니다.

나란히 놓인 두 풀이에서 드러난 첫 판단

문제는 다음과 같았습니다.

서로 연속한 두 자연수의 곱이 156일 때, 두 수를 구하여라.

학생은 작은 수를 x, 큰 수를 x+1로 두고 다음처럼 적었습니다.

x(x+1)=156
x²+x-156=0

여기까지는 원문의 ‘곱’과 ‘연속’이 그대로 반영되어 있었습니다. 그런데 채점 후 다른 풀이와 비교하면서 학생은 식을 다음처럼 바꾸어 적었습니다.

x(x-1)=156
x²-x-156=0

그 뒤 두 식 중 뒤의 식을 선택하고, “해가 더 자연스럽게 나온다”고 결론 내렸습니다. 실제로 첫 식에서는 x=12가 나오고, 두 수는 12와 13입니다. 두 번째 식에서는 x=13이 나오지만, 이때 x가 큰 수라면 작은 수는 x-1이므로 같은 두 수를 다른 기준으로 나타낸 것입니다. 문제는 표현을 바꾸는 순간 기준이 달라졌는데도, 학생이 어떤 수를 x로 정했는지와 부호가 바뀐 이유를 확인하지 않은 것이었습니다.

식보다 먼저 고정한 한 가지 기준

교정에서는 풀이 전체를 다시 쓰게 하지 않았습니다. 이미 맞았던 곱셈과 이차방정식 정리는 그대로 두고, 첫 줄에만 다음 조건을 덧붙였습니다.

“x는 작은 수, 큰 수는 x+1.”

그러면 원문에서 연속한 두 수의 곱은 반드시

x(x+1)=156

이 됩니다. 전개하면 x²+x-156=0이고, 156을 만드는 두 수를 확인하여 x=12를 얻습니다. 따라서 작은 수는 12, 큰 수는 13입니다.

같은 관계를 큰 수를 x로 정해 나타낼 수도 있습니다. 이 경우 작은 수가 x-1이므로

x(x-1)=156

이 되고, x=13을 얻습니다. 두 식은 서로 다른 문제의 식이 아니라, x가 가리키는 수가 달라진 표현입니다. 따라서 해를 구한 뒤에는 반드시 “이 해가 작은 수인가, 큰 수인가”를 원문과 연결해야 합니다. 이번 교정은 이 기준을 식을 세우기 전에 적는 행동 하나로 제한했습니다.

모양을 바꾼 연습 문제

며칠 뒤에는 숫자만 바꾸지 않고 질문의 방향을 바꾸었습니다.

연속한 두 자연수 중 큰 수를 x라 하자. 두 수의 곱이 272일 때, 작은 수를 구하여라.

이번에는 조건이 이미 큰 수를 x라고 지정합니다. 따라서 작은 수는 x-1이고, 관계식은

x(x-1)=272

입니다. x²-x-272=0에서 x=17을 선택하면 작은 수는 x-1=16입니다.

또 다른 표현으로는 다음과 같은 문장을 제시했습니다.

어떤 연속한 두 자연수에서 큰 수보다 작은 수가 1만큼 작다. 두 수의 곱이 342일 때, 두 수를 구하여라.

이때는 특정 수를 미리 x라고 정하지 않았으므로, 풀이자는 먼저 작은 수를 x로 둘지 큰 수를 x로 둘지 선택해야 합니다. 작은 수를 x로 두면 x(x+1)=342가 되고, 큰 수를 x로 두면 x(x-1)=342가 됩니다. 어느 쪽을 택하든 선택한 x의 의미를 끝까지 유지해야 하며, 앞 문제의 식 배열을 무작정 복사하지 않는 것이 핵심입니다.

힌트 없이 확인한 마지막 풀이

마지막에는 다음 문제를 아무 표시 없이 풀었습니다.

연속한 두 자연수의 곱이 420이다. 두 수 중 작은 수를 구하고, 세운 식이 원문의 조건을 나타내는 이유를 설명하여라.

학생은 작은 수를 x라고 먼저 정한 뒤 “큰 수는 연속하므로 x+1”이라고 적었습니다. 이어서

x(x+1)=420

을 세우고 x²+x-420=0에서 x=20을 골라 작은 수를 20이라고 답했습니다. 마지막으로 20×21=420을 대입해 곱 조건을 확인하고, 21-20=1이므로 두 수가 연속한다는 근거도 덧붙였습니다.

이번에는 표현이 달라져도 해를 바로 고르지 않았습니다. 먼저 x가 가리키는 수를 정하고, 그에 맞는 x+1 또는 x-1을 만든 뒤, 구한 두 값을 원래 문장의 곱과 연속 조건에 각각 대입했습니다. 이것이 연속한 수의 관계를 이차방정식으로 옮길 때 필요한 독립적인 검증입니다.