양산동 중등수학과외

양산동중등수학과외, -11x<22에서 부등호 방향과 -2의 포함 여부 확인하기

-11x<22를 풀어 x>-2를 맞혔더라도, 왜 부등호가 바뀌는지와 -2가 해에 들어가지 않는지를 설명할 수 있는지는 별도로 살펴볼 필요가 있습니다. 이번 일차부등식에서는 x에 곱해진 -11을 없애기 위해 양변을 -11로 나누며, 이때 음수로 나누므로 대소 관계의 방향이 반대로 바뀝니다. 따라서 -11x<22에서 x>22÷(-11), 즉 x>-2가 됩니다. 양산동중등수학과외 수업에서는 맞힌 답을 다시 고치는 대신, 이 정답이 어떤 조건 위에서 성립하는지 풀이 기록과 수직선 표시로 확인합니다.

음수로 나누면 왜 <가 >로 바뀌는가

부등호의 방향은 단순히 외워서 바꾸는 표시가 아니라, 수의 크기 관계를 유지하기 위한 약속입니다. 예를 들어 1<3의 양변에 -1을 곱하면 -1>-3이 됩니다. 양수일 때 오른쪽에 있던 더 큰 수가 음수를 곱한 뒤에는 수직선에서 더 왼쪽으로 이동하기 때문입니다. 같은 이유로 -11x<22의 양변을 -11로 나눌 때에는 부등호를 뒤집어 x>-2로 써야 합니다. 풀이에는 ‘양변 ÷(-11), 음수로 나누므로 <를 >로 변경’처럼 계산과 방향 변화를 한 줄에 함께 적어 보게 합니다. 답만 가린 뒤 “어느 단계에서 방향이 달라졌나요?”라고 묻고, 학생이 말·식·수직선 가운데 편한 방식으로 관계를 복원하도록 합니다. 설명이 짧다고 곧바로 이해 부족으로 판단하지 않고, -11이라는 음수와 부등호 변화가 연결되어 나타나는지를 확인합니다.

경계값 -2를 원식에 넣어 해의 끝점을 판단하기

x>-2에서 -2는 해에 포함되지 않습니다. 이를 기호만 보고 끝내지 않고 원식에 대입해 확인합니다. x=-2이면 -11×(-2)<22는 22<22가 되어 거짓입니다. 두 수가 같을 때는 ‘작다’가 성립하지 않으므로, 수직선의 -2에는 빈 원을 표시하고 그 오른쪽을 칠합니다. 경계보다 큰 값도 확인할 수 있습니다. x=0을 넣으면 -11×0<22, 즉 0<22로 참이므로 0은 해의 범위에 들어갑니다. 반대로 x=-3이면 33<22가 거짓이어서 -2보다 왼쪽은 포함되지 않습니다. 이런 대입은 x>-2라는 결과를 외운 것인지, 경계와 방향을 함께 판단한 것인지 구분하는 근거가 됩니다. 교사가 질문을 제공한 뒤의 답과, 질문 없이 학생이 직접 원식 대입과 수직선 표시를 하는 과정도 구분해 살핍니다.

부등호 하나가 바뀐 비교 문제에서 포함 기호를 확인하기

다음으로 -11x≤22를 스스로 풀게 합니다. 계수 -11과 나누는 과정은 앞 문제와 같으므로 양변을 -11로 나눌 때 방향은 다시 바뀌고, -11x≤22에서 x≥-2가 됩니다. 달라진 것은 원래의 <가 ≤로 바뀌었다는 조건입니다. x=-2를 대입하면 22≤22가 참이므로 이번에는 -2가 해에 포함됩니다. 수직선에는 -2에 채운 원을 그리고 오른쪽을 표시합니다. x=0을 대입하면 0≤22로 참이며, x=-3에서는 33≤22가 거짓이어서 해의 방향도 확인할 수 있습니다. 기본 문제의 x>-2와 비교 문제의 x≥-2는 오른쪽 범위가 같지만, 끝점 -2의 포함 여부가 다릅니다. 이후에는 정답을 보지 않은 상태에서 두 식을 각각 적고, 음수로 나눈 자리의 부등호 변화와 -2 대입 결과를 연결해 설명할 수 있는지 확인합니다. 비교 문제에서 x≥-2를 스스로 표시하고 ‘22≤22이므로 -2 포함’이라는 근거를 남길 수 있을 때 다음 유형으로 넓혀 볼 수 있습니다.