양산동 고1수학과외
양산동 고1수학과외, 조합에서 순서를 세어 중복한 경우
양산도서관에서 풀이를 정리하던 학생은 “5명 중 2명을 고르는 방법”을 해결하며 \(5\times4=20\)이라고 적었다. 두 사람을 뽑는 과정에서 첫 번째와 두 번째 자리를 나누어 세었지만, 실제로는 순서가 없는 선택이었다.
자리의 순서가 필요한지 먼저 판단하기
오답의 원인은 계산이 아니라 조합과 순열의 구분이었다. 학생은 두 사람을 뽑은 뒤 회장과 부회장을 정하는 상황처럼 순서가 있는 문제와, 단순히 대표 두 명을 고르는 문제를 같은 방식으로 처리했다.
같은 두 사람이 선택되었을 때 순서가 달라도 다른 경우인가?
이 질문을 식보다 먼저 적게 했다. 대표 두 명을 고르는 경우에는 민수와 지수를 고른 것과 지수와 민수를 고른 것이 같으므로, \(5\times4\)에서 같은 선택이 두 번씩 세어진다. 따라서 조합은
\[ \binom{5}{2}=\frac{5\cdot4}{2\cdot1}=10 \]
으로 정리된다. 반면 회장과 부회장을 각각 정하는 문제라면 역할이 다르므로 \(5\times4=20\)이 맞다.
표현이 바뀐 대표 선발 문제
이번에는 “A, B, C, D, E 중에서 발표자 두 명을 정하고, 그중 한 명이 발표 순서를 맡는다”는 조건을 제시했다. 단순히 두 명을 고르는 조합으로 끝내지 않고, 먼저 발표자 선택 \(\binom{5}{2}\)을 한 뒤 두 사람 중 담당자를 고르는 \(2\)를 곱해야 한다.
\[ \binom{5}{2}\times2=10\times2=20 \]
선택과 역할 배정을 분리하자 문제의 문장이 길어져도 조합만 적용해야 하는 부분과 순서가 생기는 부분을 구별할 수 있었다.
새 문항에서의 독립 확인
- 6명 중 동아리 대표 3명을 고르는 경우: \(\binom{6}{3}=20\)
- 6명 중 회장, 부회장, 총무를 정하는 경우: \(6\cdot5\cdot4=120\)
두 답을 비교한 뒤 학생은 “선택된 사람의 자리나 역할이 바뀌어도 같은가”를 기준으로 풀이를 판정했다. 숫자를 다시 계산하는 데 그치지 않고, 순서가 경우의 차이를 만드는지 확인하면서 조합의 의미를 처음 보는 문제에도 적용했다.