양산동 고등수학과외

양산동 고등수학과외에서는 지수·로그 단원을 공식 암기보다 부등식의 방향이 실제로 언제 달라지는지 확인하는 풀이로 다룬다. 광주과학고등학교와 광주제일고등학교의 학교자료를 참고하더라도, 특정 학교의 출제 경향을 단정하기보다 학생이 풀이 중 남긴 식과 판단의 순서를 살피는 방식이 유용하다. 양산도서관이나 양산지구처럼 익숙한 생활권에서 공부하는 학생도 로그부등식에서는 작은 조건 하나를 빠뜨려 답 전체를 뒤집곤 한다.

밑을 확인하지 않고 시작한 순간

학생에게 다음 부등식을 제시했다.

logx10 > 1

처음에는 정의역을 적었다. 밑은 x>0, x≠1이어야 하고 진수 10은 양수이므로 여기까지는 맞았다. 이어 사분면처럼 수직선에 구간을 표시하면서 학생은 “로그의 밑이 1보다 크면 지수함수와 같은 방향, 0과 1 사이면 방향이 반대”라고 말하려 했다. 그런데 실제 식으로 바꾸는 순간 오류가 시작됐다.

학생은 x>1인 경우를 먼저 놓고 10>x를 얻은 뒤, 곧바로 0<x<1인 경우에도 같은 부등호를 적용해 10>x라고 적었다. 그래서 두 구간을 합쳐 0<x<10, x≠1이라는 결론을 냈다. 밑이 1보다 작은 구간에서 로그함수가 감소한다는 사실을 알고 있었지만, 부등호가 바뀌는 표기를 풀이 줄에 남기지 않아 지식과 계산이 분리된 장면이었다.

부호변화 표기로 다시 세운 풀이

계산을 처음부터 반복하지 않고, 오류가 난 밑 조건 단계만 가렸다. 두 구간을 나란히 적게 했다.

• x>1: 로그함수가 증가하므로 logx10>1은 10>x. 따라서 1<x<10.
• 0<x<1: 로그함수가 감소하므로 부등호가 바뀌어 10<x. 하지만 10은 1보다 크고 x<1이므로 동시에 만족할 수 없다.

학생은 두 번째 줄 앞에 ‘감소 → 부등호 반전’이라고 직접 쓰고, 결론 옆에 ‘해 없음’을 표시했다. 이 표기는 단순한 설명이 아니라 다음 문제에서 밑 조건을 확인했는지 보여 주는 풀이 흔적이 된다. 최종 답은 1<x<10이다. 밑의 범위를 먼저 나누지 않으면 음의 로그값이 나올 수 있는 구간까지 해로 포함하게 된다.

조건을 바꾼 독립 문제

같은 숫자를 다시 제시하지 않고 logx1000 > 2를 풀게 했다. 이번에는 학생이 먼저 x>1과 0<x<1을 나눈 뒤, 증가 구간에서는 1000>x2로 바꾸었다. 단, 이 변형에서는 양변을 지수화할 때 밑의 조건이 필요하므로 x>1에서 x2<1000, 즉 1<x<10√10을 얻는다. 0<x<1에서는 로그값이 음수인데 2보다 클 수 없으므로 해가 없다.

문제의 식을 한 줄 더 길게 하여 logx(103)>2로 바꾸자 학생은 지수 3을 근거 없이 없애지 않고, 103>x2로 옮긴 뒤 구간 조건을 다시 적용했다. 수치만 바꾼 연습이 아니라 밑, 지수, 부등호가 함께 등장해도 같은 판단을 독립적으로 수행한 것이다.

반대로 나온 답을 반례로 확인하기

마지막에는 계산 결과를 믿지 않고 밑 조건을 무시했을 때의 답을 점검했다. 잘못된 풀이가 포함한 x=0.5를 원식에 대입하면 log0.510은 음수다. 따라서 1보다 클 수 없어 원래 부등식을 만족하지 않는다. 반대로 x=2를 넣으면 log210>1이 성립한다. 학생은 해 구간의 안쪽과 잘못 포함된 바깥쪽에서 각각 값을 골라 대입했고, 밑이 1보다 작은 경우의 부등호 반전이 실제 해를 가르는 이유를 확인했다.

자주 묻는 내용

로그부등식은 항상 밑을 두 구간으로 나누나요?

밑이 미지수라면 0<x<1과 x>1을 반드시 구분해야 한다. 밑이 고정된 문제라면 해당 밑의 증가·감소만 확인하면 된다.

x=1은 왜 제외하나요?

밑이 1이면 어떤 양의 수를 거듭제곱해도 1만 나오므로 로그의 밑으로 사용할 수 없다.

진수가 10처럼 1보다 크면 밑이 작은 구간의 로그값은 어떻게 되나요?

0<x<1에서는 10을 만들기 위해 음의 지수가 필요하므로 로그값이 음수가 된다. 이 성질이 부등식 판단의 반례가 될 수 있다.

답을 구한 뒤 무엇을 대입해야 하나요?

해 구간 안의 값과 제외된 구간의 값을 각각 원래 로그식에 넣어 부등식의 참·거짓을 비교하면 된다.