광주효천지구 중등수학과외

광주효천지구중등수학과외, 72개·108개 묶음과 신호 주기 근거 확인하기

72개와 108개를 남김없이 같은 구성으로 최대한 많은 묶음으로 나누는 문제에서 답은 36묶음이다. 이때 중요한 것은 36이라는 수만 찾는 일이 아니라, 36이 72와 108을 모두 나누어떨어지게 하는 수라는 점이다. 72÷36=2, 108÷36=3이므로 한 묶음에는 첫 물건 2개와 둘째 물건 3개가 들어간다. 반대로 두 신호가 72초, 108초마다 반복될 때 처음 다시 겹치는 시각은 216초이다. 같은 72와 108이 등장하지만, 앞에서는 ‘최대로 몇 묶음인가’를, 뒤에서는 ‘언제 다시 함께 반복되는가’를 묻는다. 광주효천지구중등수학과외 수업에서도 맞힌 답을 다시 오답처럼 다루기보다 이 두 조건을 구별해 설명할 수 있는지 확인하는 흐름이 필요하다.

36묶음이 가능한 이유를 나눗셈으로 남기기

기본 문제의 묶음 수는 72와 108 각각을 나누어야 한다. 공약수를 찾는 이유가 바로 여기에 있다. 72=2³×3², 108=2²×3³이므로 공통으로 들어 있는 인수는 2²×3²=36이다. 따라서 최대공약수는 36이고, 최대한 많은 묶음은 36묶음이다. 풀이에는 ‘72÷36=2, 108÷36=3’까지 적어 두는 편이 좋다. 그러면 36이 묶음 안의 물건 수가 아니라 묶음의 개수임이 분명해진다. 예를 들어 72와 108을 더해 180으로 처리하거나, 36만 적고 끝내면 무엇을 나누었는지 확인하기 어렵다. “36묶음으로 만들면 두 종류의 물건은 한 묶음에 각각 몇 개가 되나요?”라는 짧은 질문으로 2개와 3개를 연결하면 답의 근거가 복원된다.

72초와 108초는 공배수로 만나는 시간

비교 문제에서는 한 묶음에 들어갈 개수를 구하지 않는다. 두 신호가 동시에 시작한 뒤 다시 겹치려면 지난 시간이 72의 배수이면서 동시에 108의 배수여야 한다. 72의 배수는 72, 144, 216, …이고 108의 배수는 108, 216, …이다. 처음 공통으로 나타나는 수가 216이므로 정답은 216초다. 소인수분해로도 72=2³×3², 108=2²×3³에서 필요한 인수를 가장 큰 지수로 모두 취해 2³×3³=216을 얻는다. 이 문제의 검산은 216÷72=3, 216÷108=2로 할 수 있다. 216초가 두 주기의 정수배이므로 두 신호가 모두 반복되는 시각이라는 뜻이다.

정답을 가린 뒤, 며칠 후에도 조건을 구별하는지 보기

당일에는 36과 216을 모두 맞혔더라도, 며칠 뒤 풀이 기록 없이 다시 볼 때 같은 식을 스스로 세우는지 살핀다. 기본 문제에서는 ‘묶음 수가 72와 108을 모두 나누는가’를 표시하고 72÷36, 108÷36을 적는지 확인한다. 비교 문제에서는 배수 목록이나 최소공배수 식을 사용해 216이 72와 108의 공통 배수임을 보이는지가 기준이 된다. 말로 길게 설명하기 어렵다면 ‘36묶음, 한 묶음 2개·3개’처럼 수를 연결해 쓰거나 간단한 그림으로 나타내도 된다. 다만 기본 문제에 최소공배수를 적용하거나 주기 문제에 최대공약수를 적용하지 않는지는 따로 살펴야 한다. 두 문제에서 구하는 대상과 확인식이 모두 드러날 때, 다음 계산으로 넘어가기 전에 최대공약수와 최소공배수의 선택 기준을 안정적으로 점검할 수 있다.