광주효천지구 중3수학과외
광주효천지구 중3수학과외에서 찾은 ‘해의 조건’의 첫 오류
광주효천지구에서 신우아파트와 이야기꽃도서관 인근 생활권의 중3수학과외를 진행하며, 효천중학교·문성중학교·봉선중학교·숭의중학교·대성여자중학교가 포함된 생활권에서 자주 만나는 서술형 풀이를 살펴보았습니다. 이번 글의 초점은 방정식을 풀고 끝내는 것이 아니라, 문제의 조건에 맞지 않는 해를 제외하는 과정입니다. 광주효천지구중3수학과외에서도 계산 자체보다 마지막 조건 확인에서 답이 달라지는 경우가 많습니다.
답안의 끝에서 발견된 이상한 결론
문제는 다음과 같았습니다.
어떤 직사각형의 가로는 세로보다 3cm 길고, 넓이는 28㎠이다. 세로의 길이를 구하여라.
학생은 세로를 xcm라고 두고, 길이는 실제 길이이므로 x>0이라고 문제 옆에 표시했습니다. 이어서 가로를 x+3으로 적고 다음 식을 세웠습니다.
x(x+3)=28
x²+3x-28=0
(x+7)(x-4)=0
여기까지의 식과 인수분해는 맞았습니다. 그런데 답안에는 “x=4 또는 x=-7이므로 세로의 길이는 4cm, -7cm”라고 적혀 있었습니다. 최종 답이 틀린 이유는 계산 마지막의 실수가 아니었습니다. 두 해를 얻은 직후, 처음 표시해 둔 x>0이라는 조건을 확인하지 않은 것이 가장 먼저 어긋난 판단이었습니다.
계산을 지우지 않고 조건만 앞세워 고치기
이때 전체 풀이를 다시 시작하게 하지 않았습니다. 이미 맞은 식과 인수분해는 그대로 두고, 해를 적은 다음 조건을 바로 연결하도록 고쳤습니다.
x=4 또는 x=-7인데, 세로의 길이 x는 문제의 의미상 x>0이어야 합니다. 따라서 x=-7은 방정식에는 들어맞더라도 세로의 길이가 될 수 없어 제외합니다. 남는 값은 x=4입니다.
서술형 답안도 다음처럼 정리했습니다.
세로의 길이를 xcm라 하면 x>0이고, x(x+3)=28이다. (x+7)(x-4)=0이므로 x=4 또는 -7이다. 이 중 x>0을 만족하는 값은 4이므로 세로의 길이는 4cm이다.
핵심은 해를 구한 뒤 무조건 모두 답으로 옮기는 것이 아니라, 구한 값이 문제에서 정한 양의 길이 조건을 만족하는지 확인하는 한 행동입니다. -7을 방정식의 해라고 말하는 것과, 실제 직사각형의 세로 길이라고 답하는 것은 다릅니다.
표현이 달라진 새 문제에 적용하기
며칠 뒤에는 식의 모양과 질문 방향을 바꾼 문제를 제시했습니다.
한 변의 길이가 xcm인 정사각형에서 한 변을 2cm 줄이고 다른 한 변을 5cm 늘였더니 넓이가 24㎠가 되었다. 원래 한 변의 길이 x를 구하여라.
이번에는 그림 없이 문장만 읽고, 학생이 먼저 “정사각형의 변의 길이이므로 x>0”이라고 조건을 적었습니다. 넓이 식을 세워
(x-2)(x+5)=24
x²+3x-10=0
(x+5)(x-2)=0
을 얻었습니다. 해는 x=-5, x=2입니다. 학생은 두 값을 적은 뒤, 원래 한 변의 길이라는 조건에 따라 -5를 제외하고 x=2라고 답했습니다. 앞 문제처럼 숫자만 바꾼 것이 아니라, 두 길이의 변화가 식의 서로 다른 괄호에 나타나고, 구한 값을 ‘원래 한 변’으로 해석해야 하는 형태였습니다. 그래도 판단 기준은 변하지 않았습니다. 방정식에서 나온 값 중 실제 길이 조건을 만족하는 값만 남겼습니다.
힌트 없이 진행한 마지막 확인
마지막에는 다음 문제만 주고 식이나 조건을 미리 표시하지 않았습니다.
가로가 세로보다 4cm 긴 직사각형의 넓이가 45㎠이다. 세로의 길이를 구하여라.
학생은 세로를 ycm로 정한 뒤 “길이이므로 y>0”을 스스로 적었습니다. y(y+4)=45에서 y²+4y-45=0, (y+9)(y-5)=0을 차례로 계산하여 y=-9, 5를 얻었습니다. 그리고 “두 값을 방정식에 대입하면 모두 식은 맞지만, 세로의 길이는 양수여야 하므로 -9는 부적절하다”고 설명했습니다.
검산도 빠뜨리지 않았습니다. 선택한 y=5를 원래 넓이식에 대입하여 5×(5+4)=45가 됨을 확인하고, 최종 답을 “세로의 길이는 5cm”라고 적었습니다. 이제 학생은 해를 구하는 것과 조건에 맞는 해를 고르는 것을 한 과정으로 연결해 재현하고 있습니다.