광주효천지구 중2수학과외

식 한 줄을 거꾸로 읽으며 찾은 연립방정식의 출발점

문제는 다음과 같았다.

2x+y=11, 3x-2y=4일 때 x와 y의 값을 구하여라.

학생은 첫 번째 식을 y=11-2x로 정리한 뒤 두 번째 식에 대입하려고 했다. 노트에는 다음과 같이 적혀 있었다.

y=11-2x
3x-2(11-2x)=4
3x-22+2x=4
5x=26
x=26/5

계산한 x값을 첫 번째 식에 넣어 y=-1/5을 얻었고, 답을 두 식에 각각 대입해 보았다. 그런데 첫 번째 식에서는 2×26/5-1/5=51/5가 되어 11과 맞지 않았다. 학생은 곧바로 마지막 계산의 실수라고 생각했지만, 풀이를 끝에서부터 한 줄씩 되짚으며 어느 줄에서 식의 값이 달라졌는지 표시했다.

답이 아니라 첫 분기점을 찾다

학생은 x=26/5를 두 번째 원래 식에 넣었을 때는 3×26/5-2×(-1/5)=80/5=16이 되어 4가 되지 않는다는 점도 확인했다. 이후 두 번째 식을 대입하기 직전의 줄과 비교했다. 3x-2(11-2x)에서 괄호 앞의 -2를 각 항에 곱하면 -22+4x가 되어야 하는데, 노트에는 -22+2x라고 적혀 있었다.

여기서 중요한 것은 5x=26이라는 결과가 틀렸다는 사실이 아니라, 그 결과가 나오기 전에 -2를 괄호 안의 두 항에 모두 곱하지 않은 판단이었다. 학생은 풀이의 가장 뒤가 아닌, 결과가 갈라진 최초의 줄에 동그라미를 쳤다. 이미 맞게 세운 y=11-2x와 대입 과정은 그대로 두고, 이 한 줄만 고쳤다.

교정한 식은 3x-22+4x=4, 7x=26이므로 x=26/7이다. 첫 번째 식에 대입하면 y=11-52/7=25/7이다. 학생은 두 원래 식에 각각 확인했다.

• 2×26/7+25/7=77/7=11
• 3×26/7-2×25/7=28/7=4

두 식이 모두 맞으므로 대입 뒤의 계산이 아니라, 괄호를 전개하는 한 줄이 풀이를 결정했다는 점을 노트 옆에 직접 적었다.

표현을 바꾼 문제에서 같은 판단을 세우기

다음 문제는 두 식을 바로 제시하지 않고 상황표로 주어졌다. 문구도 달랐다.

연필 2자루와 공책 1권의 가격은 11,000원이고, 연필 3자루와 공책 2권의 가격은 14,000원이다. 연필 한 자루와 공책 한 권의 가격을 구하여라.

학생은 연필 가격을 x, 공책 가격을 y로 정하고 표의 두 행을 식으로 옮겼다.

• 2x+y=11000
• 3x+2y=14000

이번에는 첫 번째 식에서 y=11000-2x로 나타낸 뒤 두 번째 식에 대입했다. 학생은 계산을 시작하기 전에 두 번째 식의 2y에 괄호가 붙는다는 표시를 하고, -2가 괄호 안의 11000과 -2x 모두에 곱해지는지 확인했다. 이어서 3x-22000+4x=14000, 7x=36000을 얻어 x=36000/7이 되자 가격이 자연수가 아닌 것을 보고 멈추었다.

학생은 이번에는 전개 오류가 아니라 문제를 식으로 옮긴 첫 판단을 다시 살폈다. 표의 두 번째 행은 공책 2권이므로 3x+2y=14000이 맞지만, 실제 계산에서 2y를 대입할 때 2(11000-2x)를 사용해야 한다. 학생이 적은 식 3x-2(11000-2x)는 원래의 +2y를 -2y로 바꾼 셈이었다. 부호를 원래 식과 비교한 뒤 3x+2(11000-2x)=14000으로 바로잡았다.

그러자 3x+22000-4x=14000, -x=-8000, x=8000, y=-5000이 나왔다. 공책 가격이 음수가 될 수 없으므로 학생은 표를 다시 읽었다. 두 번째 가격이 14,000원이 아니라 24,000원으로 적혀 있음을 확인하고 식을 3x+2y=24000으로 고쳤다. 다시 계산해 x=8000, y=-5000이므로 여전히 어색했다. 첫 번째 식이 2x+y=11000이면 x=8000일 때 y=-5000이므로, 자연스러운 가격 조건과 맞지 않는다는 검산 결과를 통해 문제의 수치를 임의로 맞추지 않고 교사에게 원문을 확인했다.

힌트 없이 대입의 동치 관계를 확인하다

수업 끝에 학생에게 새로운 식이 제시되었다.

x-2y=1, 3x+y=14일 때 x와 y를 구하여라.

학생은 첫 식에서 x=1+2y라고 먼저 정했다. 이어 두 번째 식에 대입할 때 3(1+2y)+y=14라고 썼고, 3을 괄호 안의 1과 2y에 모두 곱해 3+6y+y=14, 7y=11, y=11/7, x=29/7을 구했다.

학생은 도움을 기다리지 않고 대입 전후의 식이 같은 값을 나타내는지 설명했다. “x를 1+2y로 바꾼 것은 첫 번째 식에서 x-2y=1을 옮긴 것이므로 두 식의 해에서는 같은 값이다. 그래서 두 번째 식에 x 대신 1+2y를 넣어도 된다”고 말했다. 마지막으로 두 원래 식에 대입해 29/7-22/7=1, 87/7+11/7=14임을 확인했다.

광주효천지구중2수학과외에서 확인한 변화는 계산량이 아니라 첫 줄의 선택을 스스로 점검하는 장면이었다. 학생은 다음 연립방정식에서도 대입할 미지수를 정한 뒤, 괄호와 부호를 원래 식과 대조하고 두 식에 다시 넣어 동치 관계를 확인했다.