선운지구 고3수학과외

적분값을 거꾸로 찾을 때, 경계가 답을 바꾸는 순간

이 글의 사례는 특정 학교 재학 사실이 아니라, 그 생활권에서 수능 수학을 준비하는 학생의 풀이 기록이다. 선운지구과외 수업에서 학생이 가져온 오답은 적분을 계산하는 과정보다, 계산 결과가 허용되는 구간인지 확인하지 않은 데서 시작됐다.

오답의 출발점은 계산이 아니라 구간이었다

문제는 다음과 같았다.

함수 \(F(x)=\int_0^x(t-1)\,dt\)가 \(0\le x\le1\)에서 정의될 때, \(F(x)=-\frac38\)을 만족하는 \(x\)를 구하여라.

학생은 먼저 적분하여 \(F(x)=\frac{x^2}{2}-x\)를 얻었다. 여기까지는 맞았다. 이어서

\[ \frac{x^2}{2}-x=-\frac38 \quad\Longrightarrow\quad (x-1)^2=\frac14 \]

라고 정리한 뒤 \(x=\frac12,\frac32\)를 모두 답으로 적었다. 최초의 어긋남은 이차방정식을 푼 뒤 두 근을 자동으로 채택한 행동이었다. 문제의 정의역 \(0\le x\le1\)을 첫 줄 옆에 적지 않았기 때문에, 구간 밖의 \(\frac32\)까지 적분 역문제의 해로 받아들인 것이다.

특히 \(t-1\)은 \(t=1\)에서 부호가 바뀐다. 따라서 \(F\)는 \(0\le x\le1\)에서는 감소하고, \(x=1\)을 지나면 다시 증가한다. 같은 누적값이 두 위치에서 나올 수 있다는 일반적인 모양만 보고, 이번 문제의 허용 구간까지 같다고 처리한 셈이다. 적분 역문제에서는 누적값의 방정식과 해의 구간을 분리해서 보아야 한다.

경계와 부호 변화를 따로 표시하다

학생에게 계산을 처음부터 다시 시키지 않고, 식의 왼쪽에 먼저 다음 세 줄만 쓰게 했다.

• 허용 구간: \(0\le x\le1\)
• 부호 변화: \(t=1\)
• 방정식의 후보: \(x=\frac12,\frac32\)

그 뒤 후보를 구간에 대입해 \(\frac12\)만 남겼다. 일반 구간에서 얻은 후보와 예외가 생기는 경계 구간을 분리한 것이다. \(x=1\)에서는 \(F(1)=-\frac12\)이고, \(x=0\)에서는 \(F(0)=0\)이므로 \(-\frac38\)이 실제로 구간 안에서 나오는 값인지도 확인할 수 있었다. 이때 다른 검산법을 추가하지 않고, 잘못된 근을 제거하는 한 가지 행동에만 집중했다.

다음 단계의 해설을 가린 뒤 학생은 “먼저 후보를 만들고, 그다음 정의역으로 걸러낸다”고 복원했다. 해설의 공식보다 자신의 첫 판단이 어디서 달라졌는지를 비교하게 하자, 적분 계산 자체는 오답의 원인이 아니었다는 점도 분명해졌다.

조건을 바꿔도 같은 경계 판단이 남는가

다음 날에는 숫자만 바꾸지 않고 문제의 조건을 바꾸었다.

\(G(x)=\int_0^x(t-1)\,dt\)라 하자. \(0\le x\le2\)에서 \(G(x)=-\frac38\)을 만족하는 \(x\)를 모두 구하고, 구간을 \(0\le x\le1\)로 제한하면 결론이 어떻게 달라지는지 설명하여라.

학생은 직전 답을 기억해 쓰지 않고 “첫 식은 \(G(x)=\frac{x^2}{2}-x\)이며, 이는 미적분의 기본정리에 따른다”고 한 문장으로 근거를 설명했다. 이어 \((x-1)^2=\frac14\)에서 두 후보를 만든 뒤, 먼저 넓은 구간에서는 \(\frac12,\frac32\)가 모두 허용된다고 말했다. 구간을 \(0\le x\le1\)로 바꾸자 \(\frac32\)를 제거했다.

이번에는 치환 전 식으로 돌아가 \(t=1\)을 별도로 표시했다. \(t-1\)의 부호가 \(0\le t<1\)에서는 음수이고 \(1

힌트 없이 남은 한 문장

시험 종료 20분 전을 가정해 유형명과 해설을 모두 가린 새 문항을 제시했다. 이번에는 \(H(x)=\int_1^x(t-1)\,dt\), \(0\le x\le3\), \(H(x)=1\)이었다. 학생은 곧바로 \(H(x)=\frac{(x-1)^2}{2}\)라고 쓰고, \(x=1\pm\sqrt2\)를 후보로 만들었다. 그런 다음 정의역을 확인해 \(1+\sqrt2\)만 남겼다.

마지막 답보다 중요한 것은 첫 식의 근거였다. 학생은 “적분의 시작점이 0이 아니라 1이므로 \(x-1\)의 누적값을 \(\frac{(x-1)^2}{2}\)로 써야 한다”고 설명했다. 이어 \(x=1-\sqrt2\)가 구간 밖임을 확인하고, 남은 값을 원식에 대입해 \(H(1+\sqrt2)=1\)을 재현했다. 조건을 먼저 찾고, 경계와 부호 변화가 결론을 바꾸는지 확인한 뒤 후보를 원식으로 검증하는 판단이 새로운 형태에서도 유지된 것이다.