선운지구 중3수학과외

식과 그래프의 대응을 확인하는 선운지구 중3수학 수업

선운지구과외 수업에서 학교 프린트의 이차함수 문제를 함께 살펴보았습니다. 이번 글에서는 이차함수 y=ax²에서 x와 y의 대응 관계만 다루었습니다.

그래프를 먼저 보고 결정한 순간

프린트에는 다음과 같은 문제가 있었습니다.

함수 y=ax²의 그래프가 점 (2, 8)을 지나고, x=−1일 때의 y의 값을 구하여라.

학생은 그래프가 위쪽으로 벌어진 모양이라는 설명만 보고 공책에 먼저 “a=2”라고 적었습니다. 이어서 “x=−1을 넣으면 y=2”라고 계산했습니다. 실제로는 그래프의 모양만으로 a의 값을 정한 것이 문제였습니다. 점 (2, 8)이 주어졌으므로 식에 직접 대입하면

8=a×2², 즉 8=4a이므로 a=2가 됩니다. 이 문제에서는 우연히 값이 맞았지만, 학생의 판단 순서는 위험했습니다. 그래프가 위쪽인지 아래쪽인지와 점의 좌표가 식에 어떤 값을 정하는지는 같은 정보가 아닙니다. 특히 조건이 달라지면 그래프 모양만 보고 좌표나 계수를 단정할 수 없습니다.

처음 틀어진 판단만 바로잡기

풀이 전체를 다시 쓰지 않고, 가장 먼저 잘못된 “그래프 모양만 보고 a를 정한다”는 행동만 바꾸었습니다. 공책의 첫 줄을 다음처럼 고쳤습니다.

주어진 점의 x와 y를 y=ax²에 직접 대응시킨다.

그러자 계산은 그대로 이어졌습니다.

8=a(2²) → 8=4a → a=2

그 뒤 x=−1을 식에 넣어 y=2(−1)²=2를 얻었습니다. 마지막에는 점 (−1, 2)를 식에 다시 대입하여 2=2×1인지 확인했습니다. 여기서 중요한 기준은 그래프의 인상이나 벌어진 방향이 아니라, 문제에 제시된 x값을 식의 x에 넣고 그 결과 y값과 비교하는 것이었습니다.

표로 제시된 조건도 같은 방식으로 읽기

며칠 뒤에는 표현을 바꾼 문제를 풀었습니다. 이번에는 그래프 그림이나 “점을 지난다”는 문장이 아니라 표가 제시되었습니다.

x	−2	0	3
y	12	0	27

함수는 y=ax²이고, 표가 정확하다면 a의 값과 x=−4일 때의 y를 구하는 문제였습니다. 학생은 이번에는 x=−2, y=12를 골라

12=a(−2)², 12=4a, a=3

이라고 적었습니다. 이어 x=−4를 넣어 y=3(−4)²=48이라고 계산했습니다. 앞 문제와 달리 조건이 표 안에 있었지만, 판단 기준은 바뀌지 않았습니다. 표의 한 행에서 x와 y를 한 쌍으로 읽고 식에 대응시킨 것입니다. x=0인 행은 y=0이라는 사실을 확인하는 데 사용할 수 있지만, a를 구하는 데에는 0으로 나누는 계산을 만들지 않도록 주의해야 합니다. 학생은 이 점을 별도로 표시하며 “x=0은 대응 확인용”이라고 적었습니다.

식의 계수가 이미 주어진 경우

또 다른 문제에서는 그래프가 아니라 다음 조건이 제시되었습니다.

y=−2x²에서 x=3일 때의 y를 구하고, 점 (−2, −8)이 이 함수 위에 있는지 판단하여라.

학생은 먼저 식에 x=3을 넣었습니다.

y=−2×3²=−18

이어서 점 (−2, −8)에 대해서는 x=−2를 넣어야 하므로 y=−2×(−2)²=−8이라고 확인했습니다. 따라서 이 점은 함수에 대응하는 점입니다. 여기서 x의 부호가 바뀌어도 제곱한 뒤의 값이 식에 들어간다는 점을 이용했지만, 다른 함수의 성질로 확장하지 않고 주어진 y=ax²의 대응만 확인했습니다.

도움 없이 새 문제를 다시 확인한 기록

마지막에는 힌트 없이 다음 문제를 제시했습니다.

함수 y=ax²의 표에서 x=−3일 때 y=−27로 기록되어 있다. 이 표가 y=ax²의 대응표가 될 수 있는지 판단하고, 가능하다면 x=2일 때의 y를 구하여라.

학생은 먼저 “a를 직접 구한다”고 쓴 뒤 −27=a(−3)²를 세웠습니다.

−27=9a → a=−3

따라서 x=2일 때 y=−3×2²=−12라고 답했습니다. 마지막에는 처음 조건을 다시 넣어 −3×(−3)²=−27인지 확인했습니다. 계산 결과가 처음 표의 y값과 일치하므로 가능한 대응이라고 설명했습니다.

이번에는 그래프의 방향이나 익숙한 모양을 먼저 판단하지 않았습니다. 주어진 x와 y를 같은 식에 대응시키고, 구한 식을 원래 조건에 다시 넣어 확인한다는 기준을 스스로 선택했습니다. 선운지구중3수학과외에서도 이처럼 한 세부개념 안에서 조건의 제시 방식이 달라져도 같은 판단을 재현하도록 연습합니다.