덕진구 전북여자고등학교 수학과외
좌표 표현이 달라져도 거리의 제곱을 읽어내는 과정
전북여자고등학교 학생과 공간도형 문제를 살펴보던 중, 같은 내용을 서로 다른 식으로 나타낸 선택지를 비교하는 장면이 있었다. 문제의 핵심은 두 점의 공간 거리를 직접 구하는 것이 아니라, 각 성분의 차를 제곱해 더한 값으로 거리의 제곱을 판단하는 것이었다.
학생은 답을 고르기 전에 두 점의 좌표를 대응시키고, (x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2 형태의 확인 계산을 여백에 적었다. 처음에는 이 표시를 기준으로 선택지를 걸러냈지만, 식의 표현이 바뀌어 성분 차의 순서나 기호가 달라지는 순간 판단 기준을 다시 세워야 했다.
맞는 후보를 찾고도 반례를 놓친 선택지
학생은 한 선택지가 성분별 차의 제곱합과 같은 형태라는 점을 확인하고 정답으로 표시했다. 그러나 다른 조건을 대입했을 때도 같은 값이 나오는지 확인하지 않아, 특정 좌표에서만 우연히 맞는 식을 그대로 받아들였다. 예를 들어 한 성분의 차를 제곱하지 않거나 두 성분만 사용한 식은 일부 좌표에서는 비슷한 결과가 나와도 공간 거리의 제곱 전체를 나타내지 못한다.
교정할 때는 계산 절차를 외우는 대신 문장을 바꾸어 설명하게 했다. 학생은 “두 점 사이의 각 좌표 차이를 각각 제곱한 뒤 모두 더한 값이 거리의 제곱”이라고 정리했고, 좌표의 순서를 바꾸어도 제곱 때문에 값이 달라지지 않는다는 점까지 확인했다.
공간에서의 거리의 제곱은 한 번에 외운 식이 아니라, 대응하는 성분 차 세 개의 제곱을 빠짐없이 합한 값이다.
조건을 바꾼 관계식에 직접 적용한 확인
이후에는 앞에서 본 식을 복사하지 않고, 한 조건만 유지한 새 문항을 제시했다. 두 점을 P(a, b, c), Q(a+2, b-1, c+3)로 나타내자 학생은 좌표를 그대로 베끼지 않고 성분 차를 먼저 2, -1, 3으로 만들었다. 따라서 거리의 제곱을 2²+(-1)²+3²=14로 구성했다.
마지막에는 답의 범위와 조건을 점검했다. 거리의 제곱은 음수가 될 수 없으므로 14가 조건에 맞는 값인지 확인하고, 각 성분을 빠뜨리지 않았는지 계산을 역순으로 살폈다. 이어 한 성분 차가 0인 경우에도 나머지 성분의 제곱만 남는다는 반례를 대입해, 선택한 식이 특정 숫자에만 맞은 것이 아니라 공간 거리의 제곱을 일관되게 나타내는지 검증했다.