동남구 북일여자고등학교 수학과외
선택 문제를 정수해 개수로 바꾸는 순간
북일여자고등학교 학생은 동남구 청수지구에서 진행한 수업에서 같은 물건을 여러 상자에 나누는 문제를 풀었다. 조건은 비음이 아닌 정수해 \(x_1+x_2+\cdots+x_k=n\)의 개수와 선택 문제를 연결해 비교하는 것이었다.
처음에는 원래 조건과 한 가지 조건을 바꾼 경우를 표로 나란히 적고, 각각에 맞는 결과를 계산했다. 예를 들어 \(x_1+x_2+x_3=5\)의 해는 별 5개와 칸막이 2개를 배열하는 것으로 보아 \(\binom{7}{2}\)가지로 셀 수 있다. 이는 중복을 허용해 3종류 중 5개를 고르는 선택 문제와 같은 구조다.
계산값은 맞았지만 연결 조건을 생략한 줄
학생은 문제에서 요구한 수까지는 도달했지만, 왜 \(\binom{n+k-1}{k-1}\)을 사용할 수 있는지 풀이 중간에 적지 않았다. 특히 각 \(x_i\)가 0을 허용하는지, 같은 종류를 여러 번 선택할 수 있는지 확인하지 않은 채 계산을 이어 갔다. 그래서 조건이 바뀐 문항에서도 같은 식을 그대로 적용할 위험이 있었다.
교정할 때는 계산 전에 먼저 ‘비음이 아닌 정수’, ‘각 변수의 상한 없음’, ‘중복 선택 허용’이라는 허용 조건을 적게 했다. 그 뒤 \(x_1+x_2+x_3=5\)를 다시 별과 칸막이로 나타내며, 칸막이가 양 끝에 올 수 있어 \(x_i=0\)도 포함된다는 점을 확인했다. 조건이 \(x_i\geq1\)로 바뀌면 \(y_i=x_i-1\)로 치환한 뒤 \(y_1+y_2+y_3=2\)를 세어야 한다는 것도 함께 점검했다.
선택지가 없는 새 문항에서 순서를 스스로 정하다
이후에는 정답 후보가 제시되지 않은 문제를 풀었다. 학생은 먼저 중복 선택이 가능한지와 변수의 최소값·상한을 표시하고, 그 조건에 맞춰 정수해 식으로 바꾼 다음 계산했다. 단순히 숫자만 쓰지 않고 별과 칸막이 배열 또는 변수 치환을 근거로 덧붙여 답을 완성했다.
별과 칸막이 방법은 비음이 아닌 정수해를 세고, 중복 선택이 허용되는 경우에 연결할 수 있지만 각 선택의 개수에 상한이 있으면 그대로 사용할 수 없다.
마지막으로 한 변수에 “최대 2개”라는 제한이 붙은 경우를 제시하자, 학생은 일반식 \(\binom{n+k-1}{k-1}\)을 바로 쓰지 않았다. 상한을 넘는 배열을 제외해야 하므로 기존 방법만으로는 부족하다고 설명했고, 사용한 계산법이 통하지 않는 조건을 스스로 구별했다.